Suma que implican funciones zeta

Question

Forma de encontrar cerrado de los siguientes-

$$ \displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}{\left(\frac{(n-1)\zeta(n)}{4n-1}\right)} $$

¿No sé cómo acercarse a él - utilizando la definición de integral? No puedo utilizar porque vine a este resultado a partir de ahí solamente.

Answer 1

Se puede observar que $$ \zeta (n) = 1 + \frac1 {2 ^ n} + \frac1 {3 ^ n} + \cdots, \quad n > 1, $$ da $ \lim_{n \to \infty}\zeta (n) = 1, $$ entonces

$$ \lim_{n \to \infty}{\left(\frac{(n-1)\zeta(n)}{4n-1}\right)} = \frac14 \times 1\neq0. $$

Su serie, como está escrito, es divergente.

Answer 2

Si reemplazar $\zeta(n)$ $\zeta(n)-1$ (de lo contrario la serie es trivial divergentes, como se muestra en las otras respuestas), desde $\sum_{n\geq 2}\left(\zeta(n)-1\right)=1$ sólo tenemos que calcular: % $ $$ S = \sum_{n\geq 2}\frac{\zeta(n)-1}{4n-1}. \tag{1}$por otra parte, $$ \sum_{n\geq 2}\zeta(n)\, z^n = -z\left(\gamma+\psi(1-z)\right)\tag{2}$ $ por lo tanto reemplazando $z$ $z^4$, y luego dividiendo por $z^2$: $$ \sum_{n\geq 2}\zeta(n)\,z^{4n-2} = -z^2(\gamma+\psi(1-z^4))\tag{3}$ $ así: $$ \sum_{n\geq 2}\left(\zeta(n)-1\right)\,z^{4n-2} = -\gamma z^2-z^2\psi(1-z^4)-\frac{z^6}{1-z^4}\tag{4}$ $ y: $$ S = -\frac{\gamma+1}{3}-\int_{0}^{1}x^2\,\psi(2-x^4)\,dx \tag{5}$ $ pero sinceramente no creo que la última integral tiene una agradable forma cerrada.

Answer 3

$$\sum_{n\geq2}\frac{\zeta\left(n\right)\left(n-1\right)}{4n-1}\geq\frac{1}{4}\sum_{n\geq2}\frac{\zeta\left(n\right)} {n} \geq\frac {1} {4} \sum_ {n\geq2} \frac {1} {n}. $$