¿Cuál es la función de isomorfismo en $M_m(M_n(\mathbb R))\cong M_{mn}(\mathbb R)$ . Probé esto $[[a_{ij}]_{kl}]\mapsto[a_{ijkl}]$ pero no pude probar todos los pasos.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
rschwieb
Puntos
60669
Sugerencia: Empezar por un elemento $[a_{ij}]_{kl}$ en $M_m(M_n(\Bbb R))$ el homomorfismo "obvio" es simplemente "borrar todos los cuadrados alrededor de $n\times n$ submatrices" y que todos los contenidos formen una $mn\times mn$ matriz $b$ .
Por ejemplo, los elementos de $[a_{i,j}]_{1,1}$ acabaría siendo $b_{i,j}$ en la matriz "grande $b$ con componentes $b_{\cdot,\cdot}$ . Entonces $[a_{i,j}]_{1,2}$ acabaría siendo $b_{i,n+j}$ .
Entonces también $[a_{i,j}]_{2,1}$ sería $b_{n+i,j}$ .
Y $[a_{i,j}]_{4,5}$ sería $b_{3n+i,4n+j}$ .
¿Puedes ver el patrón?
Una vez que comprendas la indexación, podrás ver por qué funciona la multiplicación. Aquí está lo relevante (sin explicación, porque quiero que pienses en ello.) Abajo, $c$ es otro $mn\times mn$ matriz como $b$ es para una matriz con entradas $[d_{i,j}]_{k,l}$ .
$$([b][c])_{pn+i,qn+j}:=\sum_{k=1}^{mn}b_{pn+i,k}c_{k,qn+j}=\sum_{r=0}^{m-1}\sum_{s=1}^{n}b_{pn+i,rn+s}c_{rn+s,qn+j}$$
¿Puedes ver $([a]_{i,s}[d]_{s,j})_{p+1,q+1}$ en esa expresión? Esto es básicamente expresar la "multiplicación en bloque".
Alternativamente, si te sientes cómodo con el hecho de que los anillos de matrices pueden interpretarse como transformaciones lineales en espacios vectoriales, podrías replantear todo el problema en términos de transformaciones lineales de un $n$ espacio vectorial dimensional $V$ y las transformaciones de $V^m$ . Esto reduciría la necesidad de multiplicar matrices, pero habría que sentirse cómodo con la traducción.
