Definición de un colector de Guillemin Pollack

Question

He estado estudiando topología diferencial de Guillemin y Pollack (GP). A diferencia de muchos otros libros que definen diferenciable colectores utilizando el máximo atlas GP comienza diciendo $ X \subset R^{N}$ para algunas espacio ambiental $R^{N}$ y, a continuación, pasa a definir un $k$ dimensiones múltiples. Pero sé que esta contención viene debido a una versión débil del teorema de Whitney.

Más tarde cuando se demuestran Whitney del teorema se hace por inducción sobre $N >= 2k+1$. Pero, ¿cómo puedo justificar que $ X \subset R^{N}$ en el primer lugar? ¿Cómo puede sólo ser asumido en la definición de que?

Necesito ayuda para obtener a partir de la definición general de colectores de uso de atlas a la debilidad de la versión de Whitney.

Gracias

Answer 1

Hay dos partes a la (débil) de Whitney incrustación teorema:

1) resumen del colector puede ser incrustado en $\mathbb{R}^N$ algunos $N$.

2) $k$- dimensiones submanifold de $\mathbb{R}^N$, de hecho, puede ser incrustado en $\mathbb{R}^{2k+1}$.

Prueban la parte (2) de este. Para una prueba de (1), hay una buena exposición en Lee, Suave Colectores.

Aquí está la idea de (1) en el caso especial donde la $k$-dimensional, abstracto colector compacto: Vamos a $U_i, \phi_i$ $1 \leq i \leq m$ ser finito gráfico (posible gracias a la compacidad), con $\phi_i: U_i \rightarrow \mathbb{R}^k$, y deje $\rho_i: U_i \rightarrow \mathbb{R}$ ser un subordinado de la partición de la unidad.

A continuación, inserta por $(\rho_1, \ldots \rho_m, \rho_1 \phi_1, \ldots, \rho_m \phi_m)$$\mathbb{R}^N$$N = m (k + 1)$.

Ahora probar que esto es inyectiva y con inyectiva derivada en cada punto. Hay una sugerencia para inyectiva en los comentarios.

Answer 2

Parece que el GP se mencionó en la primera parte de la (débil) del teorema de Whitney, es decir, cualquier $k$-colector de $\mathcal{M}$ ($\subset \mathbb{R}^{N}$) puede ser uno-a-uno inmerso en ningún mayor $\mathbb{R}^{M}$ $M>N$ en la parte inferior de la página 48.

De hecho, $\mathcal{M}$ es naturalmente uno-a-uno inmerso en $\mathbb{R}^{N}$ por la inclusión $i_0$ (lo $\mathrm{d}i_0$ que es también una inclusión y obviamente inyectiva). Además, cualquier $\mathbb{R}^{N}$ puede ser canónicamente inmerso en grandes $\mathbb{R}^{M}$ donde $M>N$, por catenating $M-N$ ceros, es decir, $(x_1,\dots,x_N)\rightarrow(x_1,\dots,x_N,0,\dots,0)$, que se denota como $i_1$. Por lo tanto, el compuesto de $i_1\circ i_0$ ($\mathcal{M}\rightarrow \mathbb{R}^N \rightarrow \mathbb{R}^M$) es el uno-a-uno de la inmersión de la que quería.

El uso de las operaciones anteriores, después de injectively sumergir $\mathcal{M}$ en cualquier gran espacio euclidiano $\mathbb{R}^M$$M>2k+1$, se puede realizar el procedimiento en la prueba del teorema de Whitney en el GP de colapso del espacio ambiental para la dimensión de $2k+1$.

Answer 3

Comparar con:

Se puede definir un espacio vectorial de dimensión $k$ como ciertos subconjuntos de $\mathbb R^N$ % grande $N$con determinadas propiedades algebraicas. Más adelante muestro, que es de hecho isomorfo a $\mathbb R^k$. Ahora, puedo 'volver a axiomatize' el espacio del vector sin referencia a $\mathbb R^N$ y mostrar que cada vector de la base puede ser representado como un $[0,0,\ldots ,1, \ldots, 0]^t$ con respecto a sí mismo.

Lo importante es que los colectores son objetos de remendar juntos espacios euclidianos de la misma dimensión.