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Question

Estoy haciendo una tarea de problema, y hasta ahora he probado $$\sum_{n=-\infty}^\infty \frac{1}{(z+n)^k}=\frac{(-2\pi i)^k}{(k-1)!}\sum_{m=1}^\infty m^{k-1}e^{2\pi imz}$$ para $k$ un entero $\geq 2$$\text{Im}(z)>0$. La siguiente parte del problema me pide que me ponga a $k=2$ y mostrar $$\sum_{n=-\infty}^\infty \frac{1}{(z+n)^2}=\frac{\pi^2}{\sin^2(\pi z)}$$ for $\texto{Im}(z)>0$, but after nearly an hour of bashing I still see it-- I've tried product expansions of sine, using Euler's formula (which equates to showing $\frac{e^{2\pi ri}+e^{-2\pi ri}-2}{16}=-4\pi^2 \sum_{m=1}^\infty mí^{2\pi imz}$). Podría nadie señale un camino para obtener la por encima de la igualdad de la que deriva? Disculpas de antemano si simplemente estoy distraida y es muy obvio.

También, la siguiente pregunta es si la fórmula anterior es cierto si $z$ es cualquier número complejo que no es un entero, pero no estoy muy seguro de haber entendido lo que se le pregunta. Por qué no ser verdad?

Answer 1

$q=e^{2\pi i z}$ Tenemos la escritura

$$\sum_{m=1}^\infty mq^m=\frac{q}{(1-q)^2}=\frac{1}{(q^{1/2}-q^{-1/2})^2}=\frac{1}{(2i\sin\pi z)^2}.$$

Lado derecho de la fórmula diverge $\operatorname{Im}(z)<0$, así que uno debe ser sospechoso de la fórmula corolario sosteniendo más generalmente. Sugerencia: considerar convergencia para real nonintegers y Conjugación compleja.