Deje $v^i$ ser un vector en una de Riemann 3-colector con métrica $g_{ij}$ incrustado en el interior de un 3+1 en el espacio-tiempo tal que para algunas constantes $N_M$ satisface la desigualdad $g_{ij}v^iv^j \leq N_M ^2$. Deje $K$ ser simétrica de rango-2 tensor en la 3-variedad. Luego, aparentemente, la siguiente se tiene:
$$\vert K_{ij} v^i v^j \vert \leq \vert K \vert _g N_M ^2.$$
Esto se ve como una especie de Cauchy-Schwarz desigualdad, pero dado que el $K$ es un tensor como se describe, no entiendo lo de la notación en la RHS medios. Para un rango de 2 simétrica del tensor $K$ qué $\vert K \vert _g$ significa?
Si uno sabe que, para alguna función $N$, $g_{ij}v^iv^j \leq N^2,$ en función de las $N$ es de por sí limitada entre las constantes de
$$N_m \leq N \leq N_M,$$
a continuación, utilizando las desigualdades como la de arriba al parecer, se puede mostrar el siguiente enlazado:
$$\int _{t_1} ^t \frac{1}{N} \Big(-v^i \parcial _i N - \frac{dN}{dt} + K_{ij}v^iv^j\Big) dt \leq -2\log N_m + \frac{1}{N_m} \int _{t_1}^t (\vert \nabla N \vert _g N_M + \vert K \vert _g N_M ^2 )dt,$$
para algunos fijos $t_1$$t$.
No puedo entender que primero "log", término que en la anterior.
También una vez que el obligado se muestra de lo anterior se sigue que la integral puede ser acotada arriba o abajo dependiendo exclusivamente en la propiedad de la función de $N$? Si sí, entonces lo que sería necesario de $N$ al hacer la integral sin límites por encima o por debajo?
