Cuando podemos cambiar el orden de forzar la iteración

Question

Estoy interesado en cuando dos obligando a las iteraciones son isomorfos (o al menos agregar la misma reales) cuando el orden de los forzamientos se cambia. Sé que cada obligando correctamente no existen en el modelo de terreno, para cambiar el orden de forzar también equivale a cambiar los nombres de los forzamientos.

Como un ejemplo concreto de considerar la prueba de MA + no CH. Como yo lo entiendo, la idea es iterar sobre cada ccc poset. Si se cambia el orden, seguramente las cosas podrían cambiar. Pero ¿y si el posets no son elegidos al azar. Es allí una manera normal para mostrar que dos órdenes de iteración son equivalentes?

Me imagino que hay dos casos: el sucesor y el límite de los casos. En el caso de que la materia, el forzamientos estoy interesado son todos adecuados, el apoyo es contable.

Gracias por los consejos, incluso para las referencias de donde algo como esto es hecho.

Answer 1

Aquí hay algo que usted puede o no puede encontrar útil. Hay una construcción, debido a Laver, llamado termspace forzar, que intenta aproximar un poset en un forzando la prórroga con un modelo de terreno poset. Específicamente, si $\mathbb{P}$ es un poset y $\dot{\mathbb{Q}}$ $\mathbb{P}$- nombre para un poset, nos vamos a $$A(\mathbb{P},\dot{\mathbb{Q}})=\{\tau;\tau\text{ is a $\mathbb{P}$-nombre y } \mathbb{P} \Vdash\tau\en\dot{\mathbb{Q}}\}$$ y el orden es por $\tau\leq\sigma$ fib $1\Vdash\tau\leq\sigma$. La intuición aquí es que $A(\mathbb{P},\dot{\mathbb{Q}})$ es lo que nos gustaría que la proyección de $\mathbb{P}*\dot{\mathbb{Q}}$ en la segunda coordenada.

El resultado clave sobre termspace forzar es que $\mathbb{P}*\dot{\mathbb{Q}}$ incrusta en $A(\mathbb{P},\dot{\mathbb{Q}})\times \mathbb{P}$ (el resultado real es más fuerte, en la que los filtros para $\mathbb{P}$ y el termspace obligando a no tienen que ser mutuamente genérico para dar un genérico para la iteración). Esto significa que, modulo algunos cociente forzar, tenemos básicamente cambiar todo el orden de la iteración. El diablo, como siempre, está en los detalles; el cociente de forzamiento es en general muy mal comportamiento (por ejemplo, incluso para $\mathbb{C}=\text{Add}(\omega,1)$, el poset $A(\mathbb{C},\mathbb{C})$ ha antichains de tamaño continuum).

Hay algo más de información sobre termspace forzado en Cummings' capítulo del Manual, pero por lo demás he encontrado que es bastante difícil encontrar una buena fuente.

Answer 2

Parece que la pregunta puede ser bastante no-trivial, incluso para el paso de dos iteraciones. Sela demostrado (véase la sección 9, "Pobre Cohen viajes sólo con sí mismo" en el enlace de abajo) que si $\mathbb{Q}$ es un Suslin ccc obligando a la adición de un no-Cohen real, en $V^{\mathbb{Q}}$ el viejo reales son escasos, lo que implica (por otro de los resultados en este capítulo) que $\mathbb{Q}$ no conmuta con Cohen.

El papel: http://www.heldermann-verlag.de/jaa/jaa10/jaa10006.pdf