Podemos integrar funciones discontinuas

Question

¿Tiene sentido integrar la función $f(x) = 6$ $x\in [0,1)$ y $f(x) = 1/x$ $x$ $(1,\infty)$?

¿Tiene sentido integrar la función $f(x) = 6$ $x\in [0,1]$ y $f(x) = 12/x$ $x$ $[1,\infty)$?

¿Cuál es la diferencia?

Answer 1

Estos son lo que se llama las integrales impropias. Integrar tomando límites finitos de las integrales. Para el segundo ejemplo se deje

$$\int_{[1,\infty)}\frac{12}{x}\, dx=\lim_{h\to\infty}\int_1^b\frac{12}{x}\,dx.$$

Si usted arrancar la integración, que se quedan con

$$\lim_{h\to\infty}(\ln(b)-\ln(1).$$

Desde que el límite no existe, decimos que no convergen. Si intenta lo mismo con $f(x)=\frac{12}{x^2}$, obtendrá un límite que no existe y que podríamos llamar la integral convergente. Para lidiar con las integrales sobre intervalos abiertos, nos gustaría tener límites de nuevo:

$$\int_{(0,1]}f(x)\,dx = \lim_{a\to 0}\int_a^1f(x)\,dx.$$