$\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+\cdots+\frac{1}{2n}>\frac{2}{3}$

Question

Se trata del libro problemas de análisis matemático Kaczor y Nowak:

¿Mostrar que, $n\in \mathbb{N}$, %#% $ de #% la solución en la parte posterior del libro dice para aplicar la aritmética armónica significa desigualdad, pero cuando trato de hacerlo me sale que $$\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+\cdots+\frac{1}{2n}>\frac{2}{3}$ $ y el lado izquierdo es igual a %#% $ #% por lo que parece que lo mejor que puedo hacer es $$\frac{\sum_{i=0}^n (n+i)}{n+1}\ge \frac{1}{\sum_{i=0}^n\frac{1}{n+i}}$ $ lo que falta aquí?

Answer 1

Como señala r9m, desigualdad de Jensen es suficiente, puesto que $\frac{1}{x}$ es una función convexa en $\mathbb{R}^+$, por lo tanto:

$$\sum_{k=n}^{2n}\frac{1}{k}\geq \frac{1}{n}+n\left(\frac{1}{n}\sum_{k=n+1}^{2n} k\right)^{-1}=\frac{1}{n}+\frac{2n}{3n+1}\geq\frac{2}{3}.$$

Como alternativa, implica $$ \frac{1}{k}\geq \log(k+1)-\log k+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right) $ $: $$ \sum_{k=n}^{2n}\frac{1}{k}\geq \log\left(\frac{2n+1}{n}\right)+\frac{n+1}{2n(2n+1)}.$ $

Answer 2

$f(x)=\frac{1}{x}$ Es convexa, la desigualdad de Jensen da $$\begin{align} \frac1{n+1}\sum_{k=n}^{2n}\frac1k &\ge\left(\frac1{n+1}\sum_{k=n}^{2n}k\right)^{-1}\\ &=\frac{2(n+1)}{(4n^2+2n)-(n^2-n)}\\ &=\frac{2(n+1)}{3n(n+1)} \end {Alinee el} por lo tanto $$, $$ \bbox[5px,border:2px #C0A000 sólido] {\sum_ {k = n} ^ {2n} \frac1k \ge\frac23 \frac{n+1}{n}} $$

Answer 3

$$\frac{\frac1n+\frac1{n+1}+\ldots+\frac1{2n}}{n+1}\ge\frac{n+1}{n+(n+1)+\ldots+(2n)}=\frac{n+1}{n(n+1)+\frac{n(n+1)}2}\implies$$

$$\frac1n+\frac1{n+1}+\ldots+\frac1{2n}\ge\frac{(n+1)^2}{\frac32n(n+1)}=\frac23\frac{(n+1)^2}{n^2+n}\ge\frac23$$

Answer 4

ps