Nota: creo que @jayakrishnan proporciona una referencia interesante sobre el 2 asociada a los Números de Stirling del segundo tipo de F. T. Howard.
He aquí otro papel que parece prometedor. La idea es, que incluso si no exactamente el artículo que tener en cuenta que las fórmulas de $S_2(n,k)$ usted se encuentra en los referidos documentos podrían ser sin embargo valioso y un buen sustituto de las fórmulas que desea encontrar.
Se presenta (además de otros números) r asociadas a los números de Stirling del segundo tipo$S_r(n,k)$:
$$\sum_{n=k}^{\infty}S_r(n,k)\frac{t^n}{n!}
=\frac{1}{k!}\a la izquierda(e^t-\sum_{j=0}^{i-1}\frac{t^j}{j!}\right)^k$$ y usted encontrará usando la definición
$$\sum_{n=k}^{\infty}S_2(n,k)\frac{t^n}{n!}
=\frac {e^t 1-t)^k}{k!}$$
algunos interesantes acerca de las identidades $S_2(n,k)$. Tal vez una recurrencia de la fórmula (2.2) de $S_2(n,k)$ con la ayuda de los números de Bernoulli es útil:
$$\sum_{j=0}^n\binom{n+k-1}{j}S_2(n-j+k,k)B_j=(n+k-1)S_2(n+k-2,k-1)\qquad k\geq 2$$
o algunas expansiones asintóticas de $S_2(n,k)$ al final del papel.
Añadido 2014-12-03: Con respecto al comentario de @Once-Once he añadido otro indicio que podría darle un poco más de conocimientos.
Respecto asociados números de Stirling del segundo tipo se pueden encontrar en la Analítica de la Combinatoria de Flajolet y Sedgewick conceptos interesantes y algunos buenos ejemplos. Usted puede tener una mirada en el capítulo II: Etiquetado Estructuras Exponencial y Funciones de Generación.
Se puede leer en la Sección II.3: Surjections, las particiones del conjunto, y las palabras:
- Ejemplo II.4 (13) (p. 124): números de Stirling del segundo tipo
Los números de Stirling del segundo tipo, $S_n^{(k)}$, que indica el número de formas de particionar el conjunto $[1..n]$ a $k$ disjuntos y no vacíos de clases de equivalencia (llamados bloques) puede ser modelado por la estructura simbólica:
$$S^{(k)}=\text{SET}_k\left(\text{SET}_{\leq 1}(\mathcal{Z})\right)$$
que se traduce directamente en la exponencial de generación de función (EGF) por $S_n^{(k)}$
$$S^{(k)}(z)=\sum_{n\geq k}S_n^{(k)}\frac{z^n}{n!}=\frac{1}{k!}\left(e^z-1\right)^k$$
- Ejemplo II.6: más pequeño y el más grande de los bloques en las particiones del conjunto.
Deje $e_b(z)$ denotar la función exponencial truncada:
$$e_b(z) := 1+\frac{z}{1!}+\frac{z^2}{2!}+\cdots+\frac{z^b}{b!}$$
El EGFs $S^{(\leq b)}(z)$ $S^{(>b)}(z)$ con
$$S^{(\leq b)}(z)=\exp\left(e_b(z)-1\right)\qquad \qquad S^{(>b)}(z)=\exp\left(e^z-e_b(z)\right)$$
corresponden a las particiones con todos los bloques de tamaño $\leq b$ y todos los bloques de tamaño $>b$, respectivamente.
- Ejemplo II.7: El FEAG de particiones sin singleton partes es
$$e^{e^z-1-z}$$
- Ejemplo II.8: Restringido palabras. El FEAG de palabras sobre un alfabeto de cardinalidad $k$ que contiene cada letra en la mayoría de las $b$ a veces, y que la de las palabras que contiene cada letra más de $b$ veces son
$$\mathcal{W}^{(\leq b)}(z)=e_b(z)^k,\qquad \qquad\mathcal{W}^{(> b)}(z)=\left(e^z-e_b(z)\right)^k$$
... y algunos ejemplos más
Nota: Observar, que el establecimiento $b=1$ resultados en la 2 asociada a los números de Stirling del segundo tipo
$$S_2(n,k)=\frac{1}{k!}\left(e(z)-e_b(z)\right)^k$$
