Que $A$ ser un anillo noetheriano conmutativo. Nos dicen que es regular si su localización en cada prime ideal es un anillo local regular.
¿Si este es el caso, es cierto que $A[X]$ es normal?
Respuesta
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Sí. Deje $\mathfrak q$ ser una de las primeras de $A[X]$. A continuación, $\mathfrak q$ se encuentra sobre un primer $\mathfrak p$$A$, y la formación de $(A[X])_{\mathfrak q}$ puede se divide en dos pasos: primero se localizan en $\mathfrak p$, y, a continuación, localizar esta en el primer ideal generado por a $\mathfrak q$.
El primer paso que da un anillo que es canónicamente isomorfo a $A_{\mathfrak p}[X]$, y para el segundo paso consiste en localizar en un primer de este anillo que contiene el ideal maximal de a $A_{\mathfrak p}.$
Desde $A$ fue asumido regular, hemos reducido a la siguiente situación: deje $A$ regular anillo local con ideal maximal $\mathfrak m$, y deje $\mathfrak q$ ser un primer ideal de $A[X]$ que contiene $\mathfrak m.$ Tenemos que mostrar que $A[X]_{\mathfrak q}$ es regular.
Se puede ver cómo manejar este caso especial? (Sugerencia: piense primero en el caso de al $A$ es en realidad un campo y, a continuación, tratamos de reducir a este caso.)
