¿Qué axiomas hay que añadir a la ZFC de segundo orden para que tenga un modelo único (hasta el isomorfismo)?

Question

¿Qué axiomas hay que añadir a ZFC2 (ZFC de segundo orden) para que la teoría tenga un modelo único (hasta el isomorfismo)?

Estaba pensando: adjuntar la hipótesis del continuo generalizado (GCH) y un enunciado que afirme que no existen cardinales inaccesibles.

Answer 1

Ya sabemos que los modelos de $\sf ZFC_2$ son exactamente los conjuntos $V_\kappa$ para $\kappa$ inaccesible, por lo que realmente sólo queremos un axioma $\varphi$ tal que $\sf ZFC_2+\varphi$ sólo tendría un cardinal inaccesible que lo satisfaga.

Por ejemplo $\varphi$ podría ser "No hay cardenales inaccesibles" (satisfecho por el primer inaccesible); o "Hay exactamente un cardenal inaccesible" (satisfecho por el segundo inaccesible); y así sucesivamente.

Es decir, si $K$ es el conjunto de cardenales inaccesibles, entonces $\varphi$ debe decirnos qué es $K\cap V_\kappa$ de una manera única. Esto no es necesariamente posible cuando ese conjunto es lo suficientemente complicado (o cuando $\kappa$ es lo suficientemente grande como para que se produzcan todo tipo de reflexiones locas), pero si podemos caracterizar $K\cap V_\kappa$ de forma única entonces el axioma garantiza que a lo sumo una $V_\kappa$ puede satisfacer ese axioma.

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Algunas palabras sobre la cuestión de $\sf GCH$ . Supongamos que el universo de la teoría de conjuntos $V$ satisface $\sf GCH$ En este caso, está claro que cualquier $V_\kappa$ satisface $\sf GCH$ también, y en particular para los inaccesibles $\kappa$ lo que significa que cada modelo de $\sf ZFC_2$ es un modelo de $\sf GCH$ .

Si, por el contrario, $V$ no satisface $\sf GCH$ y el ejemplo del fallo está por debajo del primer cardinal inaccesible de $V$ entonces para un tamaño suficientemente grande $\kappa$ (que sigue siendo mucho más pequeño que los cardenales inaccesibles) $V_\kappa$ no satisface $\sf GCH$ . En particular, todos los modelos de $\sf ZFC_2$ lo haría.

Piensa en algo peor, supón que hay exactamente dos cardenales inaccesibles, $\kappa_1<\kappa_2$ . $\sf GCH$ tiene debajo de $\kappa_1$ pero falla en $\kappa_1$ . De ello se desprende que $V_{\kappa_1}\models\sf ZFC_2+GCH$ y $V_{\kappa_2}\models\sf ZFC_2+\lnot GCH$ . Y $V_{\kappa_1}$ es el único modelo de $\sf ZFC_2$ en la que no hay cardenales inaccesibles, mientras que $V_{\kappa_2}$ es el único modelo de $\sf ZFC_2$ en la que hay exactamente un cardenal inaccesible.

La razón de esto es que la lógica de segundo orden de semántica completa no tiene el teorema de completitud. El hecho de que haya un solo modelo hasta el isomorfismo no significa que la teoría pueda probar o refutar cualquier proposición del lenguaje.

Answer 2

Mi sugerencia es esencialmente la misma que la de Asaf, pero redactada de forma un poco diferente para evitar mencionar directamente los cardenales inaccesibles, etc.

Una forma bien conocida de hacer una axiomatización de una estructura categórica es añadir un axioma de inducción de segundo orden adecuado, por ejemplo, la aritmética de segundo orden. Por lo tanto, lo más obvio que se puede intentar en la teoría de conjuntos es el axioma de segundo orden $\in$ -inducción:

Si $U \subseteq \mathbf{V}$ y $(\forall x \in \mathbf{V} . \, x \in^{\mathbf{V}} y \to x \in U) \to y \in U$ entonces $U = \mathbf{V}$ .

Desgraciadamente, esto no ayuda en este caso: sólo afirma que $\in^\mathbf{V}$ está bien fundado, y por tanto si el universo "real" tiene muchos inaccesibles, entonces habrá muchos modelos no isomórficos que satisfagan este axioma.

El problema, por lo que veo, es que este axioma no implica que $\mathbf{V}$ puede construirse inductivamente a partir de un conjunto finito de operaciones. En palabras, simplemente dice:

Si $U$ es un subconjunto de $\mathbf{V}$ , de tal manera que $\emptyset^\mathbf{V}$ es miembro de $U$ y para todos los elementos $y$ de $\mathbf{V}$ , si $y$ es un subconjunto de $U$ (en el sentido apropiado), entonces $y$ es miembro de $U$ también.

Para ponerlo en términos de teoría de tipos, la dificultad viene del hecho de que los constructores para elementos de $\mathbf{V}$ son a su vez parametrizados por $\mathbf{V}$ . Así que pensemos en las formas fundamentales de construir conjuntos:

1. Hay dos constantes: $\emptyset^\mathbf{V}$ y $\omega^\mathbf{V}$ .
2. Si $x$ y $y$ son elementos de $\mathbf{V}$ entonces también lo es $\{ x, y \}^{\mathbf{V}}$ .
3. Si $x$ es un elemento de $\mathbf{V}$ entonces también lo es $\bigcup^{\mathbf{V}} x$ .
4. Si $x$ es un elemento de $\mathbf{V}$ entonces también lo es $\mathscr{P}^{\mathbf{V}}(x)$ .
5. Si $x$ es un elemento de $\mathbf{V}$ y $C$ es un subconjunto de $\mathbf{V}$ entonces $\{ y : y \in^\mathbf{V} x \land y \in C \}^\mathbf{V}$ (o $\mathsf{sep}^\mathbf{V}(C, x)$ para abreviar) también es un elemento de $\mathbf{V}$ .
6. Si $x$ es un elemento de $\mathbf{V}$ y $F : \mathbf{V} \rightharpoonup \mathbf{V}$ es una función parcial, entonces también lo es $\{ F (y) : y \in^\mathbf{V} x \land y \in \operatorname{dom} F \}^\mathbf{V}$ (o $\mathsf{repl}^\mathbf{V}(F, x)$ para abreviar).

Esto sugiere el siguiente principio de inducción:

Si $U$ es un subconjunto de $\mathbf{V}$ y $U$ está cerrado bajo los constructores mencionados, entonces $U = \mathbf{V}$ .

Informalmente, estamos declarando que todo en $\mathbf{V}$ debe construirse utilizando una de las reglas anteriores, y esto excluye definitivamente la posibilidad de cardenales (incontables) inaccesibles en $\mathbf{V}$ . Así, por el colapso de Mostowski, cualquier modelo de ZF de segundo orden que satisfaga el principio de inducción anterior debe ser isomorfo a $(V_\kappa, \in)$ , donde $\kappa$ es el cardenal menos inaccesible.

También se observa que podemos economizar un poco y dejar de lado el $\mathsf{sep}^\mathbf{V}$ sin cambiar nada; lo que queda es más o menos la definición del universo de Grothendieck, al menos una vez que borramos todo el $\mathbf{V}$ superíndices y añadir el requisito de transitividad.