¿Son los polinomios simétricos elementales "únicos"?

Question

Los polinomios simétricos elementales son interesantes porque generan el conjunto de polinomios simétricos, en el sentido de que todo polinomio simétrico es algún polinomio aplicado a los simétricos elementales.

Existen otros conjuntos finitos de polinomios que generan el conjunto de polinomios simétricos de esta manera, siendo el más obvio la familia $(X_1, ... X_n)$ . No son polinomios simétricos, pero incluso si buscamos un conjunto finito de simétrico polinomios que generan el conjunto de todos los polinomios simétricos, hay otras posibilidades - Creo que .

1. ¿Estoy en lo cierto que los polinomios simétricos no son la única familia finita de polinomios simétricos que genera el conjunto total de polinomios simétricos?
2. En ese caso, ¿hay algo intrínsecamente especial en las simetrías elementales? ¿Alguna propiedad de la forma en que generan el resto del conjunto que las caracterice? En otras palabras, ¿pueden definirse sin limitarse a escribir sus fórmulas? ¿O su interés proviene simplemente del hecho de que resulta ser la forma en que las raíces de un polinomio expresan los coeficientes?

Answer 1

En respuesta a la primera pregunta: tienes razón. Consideremos los polinomios simétricos de suma de potencias $\sum_i X_i{}^k$ : el Fórmulas de Newton-Girard mostrar cómo expresar los polinomios simétricos elementales en términos de los polinomios simétricos de suma de potencias.

Answer 2

La respuesta de Peter Taylor está muy bien. Sólo quiero añadir dos observaciones.

1. Las sumas de potencias no siempre generarán todos los polinomios simétricos. Lo hacen sobre un campo de característica cero, pero su uso sobre anillos de característica positiva introduce problemas, porque las fórmulas de Newton-Girard imponen la necesidad de dividir con un número entero ( $\le k=$ el grado del polinomio). Por ejemplo, sobre el campo $\Bbb{F}_2$ no podemos escribir el producto $x_1x_2$ utilizando las sumas de poder $p_1=x_1+x_2$ y $p_2=x_1^2+x_2^2$ porque aquí tenemos $p_2=p_1^2$ como consecuencia del sueño del novato. Los polinomios simétricos elementales generan el anillo de polinomios simétricos sobre cualquier anillo de coeficientes con cualquier característica (Teorema 2.20 en Álgebra Básica I de Jacobson).
2. Los polinomios simétricos elementales son invariantes bajo un grupo finito generado por reflexiones: $$s_{ij}:(x_1,\ldots,x_i,\ldots,x_j,\ldots,x_n)\mapsto (x_1,\ldots,x_j,\ldots,x_i,\ldots,x_n).$$ Existe una teoría de invariantes similar para todos los grupos finitos generados por reflexiones. A diferencia del caso de los grupos de permutación, el grado de los invariantes básicos (aquí $1,2,3,\ldots,n$ ) son más variados. Por ejemplo, con el grupo más grande de permutaciones con signo, un polinomio debe tener grado par con respecto a todas las variables para ser invariante. Leer El libro de Humphreys para saber más. Un resultado clásico (¿Chevalley?) dice que siempre obtenemos un conjunto de generadores algebraicamente independientes para el álgebra de invariantes.