Una suma de un número aleatorio de variables aleatorias de Poisson

Question

en mi probabilidad de clase me fue dada esta cuestión en la que yo estoy pegado sobre una suma de un número aleatorio de variables aleatorias de Poisson:

Vamos a definir los contables conjunto de variables aleatorias independientes $ X_i \sim \mathrm{Pois}(\lambda _i) $ y la variable aleatoria $N$ independiente del resto de la $ X_i $, que también tiene una distribución de Poisson $ N \sim \mathrm{Pois}(\lambda) $. Se nos pide para comprobar si la siguiente suma $ Y = \sum_{i=1}^N X_i $ también tiene una distribución de Poisson y si es así, ¿con qué parámetro? Como una sugerencia que se nos pide mirar a la función característica de la variable para comprobar.

Sé el finito determinista de la suma de variables aleatorias de Poisson es de nuevo una variable aleatoria de Poisson con la suma de los parámetros, pero no puedo solucionarlo para un número aleatorio de sumandos que también es de Poisson-ly distribuido, sé que la función característica de una distribución de Poisson variable aleatoria distribuye $ \Phi(t) = e^{\lambda (e^{it}-1)} $. Agradezco a todos los colaboradores que me puede mostrar una manera de salir de esta.

Answer 1

En el caso de que todos los $\lambda_j$ son iguales, digamos a $\mu$, se puede calcular

$$ \mathbb E\left[ \exp(itY) \mid N \right] = \exp(\mu (e^{it}-1) N)$$ así que $$ \mathbb E[\exp(itY)] = \mathbb E [\exp(\mu(e^{it}-1)N] = \exp(\lambda ( \exp(\mu (e^{it}-1))-1))$$ que no es la función característica de una distribución de Poisson. Sin embargo, las cosas son más complicadas si el $\lambda_j$ no son todos iguales.

EDIT: En general, vamos a $s_n = \sum_{j=1}^n \mu_j$. En particular,$s_0 = 0$. Entonces $$ \mathbb E \left[\exp(itY) \mid N \right] = \mathbb E \left[\exp(s_N (e^{it}-1))\right] = \exp(-\lambda) \sum_{n=0}^\infty \dfrac{\lambda^n}{n!} \exp(s_n (e^{it}-1)) $$ Dejando $z = 1 - e^{it}$, queremos saber si hay una fórmula $$ \exp(-\lambda) \sum_{n=0}^\infty \dfrac{\lambda^n}{n!} \exp(-s_n z) = \exp(-\rho z)$$ where $\rho > 0$. Si esto es válido para $z = 1 - e^{it}$, por analiticidad debe ser válido en el derecho la mitad de avión. Ahora como $z \to +\infty$, el límite de la izquierda es $\exp(-\lambda)$ (desde $s_0 = 0$), mientras que el límite del lado derecho es $0$. Así que esto es imposible: la distribución no es de Poisson.