Geodésica en un plano

Question

Supongo que cada geodésica en un plano es una línea recta. ¿Es correcto? ¿Qué puedo utilizar para demostrarlo? Supongo que tengo que usar de alguna manera la conexión Levi-Civita.

Answer 1

Esto sólo añade algunas palabras y referencias, pero quizá le ayude a organizar sus pensamientos. Si utiliza las coordenadas estándar para $\mathbf R^2$ entonces la métrica euclidiana tiene constante matriz \[ (g_{ij}) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} . \] Por lo tanto, el Símbolos de Christoffel de la conexión Levi-Civita son todos cero. Si se recorre la definición de la derivada covariante a lo largo de una curva $\gamma(t) = (\gamma_1(t), \gamma_2(t))$ aplicado al campo vectorial tangente de $\gamma$ , entonces terminas con el ecuación geodésica que en este caso requiere que \[ \frac { \partial ^2 \gamma_1 }{ \partial t^2} = \frac { \partial ^2 \gamma_2 }{ \partial t^2} = 0. \]

Answer 2

Creo que es bastante sencillo, es un ejemplo clásico de cálculo de variaciones. Encuentras una función que minimiza un Lagrangiano que representa la longitud de la función. Usas la ecuación de Euler-Lagrange para encontrar que la segunda derivada de la función es cero, concluyendo que debe ser una línea recta.

Para una prueba completa, véase aquí .

Answer 3

Similar a lo que dijo Dylan, dejemos $\mathbf{u}$ sea un vector tangente a una trayectoria $\gamma$ entonces $\nabla_{u}u=0$ describe el movimiento geodésico. Entonces, observando que los símbolos de Christoffel desaparecen, tenemos $\partial_{A}u^{B}=0$ . Si parametrizamos en $\tau$ tenemos $$ \frac{d u^{x}(\tau)}{d\tau}=0$$ y $$ \frac{du^y(\tau)}{d\tau}=0$$ que implemente $u^x=v_{0}^x$ y $u^y=v_{0}^y$ y $x(\tau)=v_{0}^x\tau+x_0$ y $y(\tau)=v_{0}^y\tau +y_0$ . Estas son líneas.

Espero que esto ayude.

Answer 4

Hay una respuesta mucho más sencilla que utiliza un poco de teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias:

1) Si se toma una recta en el plano, su segunda derivada es $0$ por lo que es una geodésica por definición.

2) Existe una única geodésica que pasa por cualquier punto del plano en cualquier dirección. Esto es cierto porque las ecuaciones geodésicas tienen una solución única.

3) Como hay una línea que pasa por cualquier punto en cualquier dirección, no hay otras geodésicas.

Answer 5

Aquí hay un enfoque más básico: considere dos puntos $\mathbf p$ y $\mathbf q$ en $R^2$ . demostraremos que la línea recta entre ellos es la curva más corta que los une. así para dos puntos cualesquiera de la curva geodésica, la curva entre ellos es una línea y por lo tanto toda la curva es una línea recta entre $\mathbf p$ y $\mathbf q$ . dejar $\mathbf u$ sea un vector unitario y $\gamma$ sea alguna curva que conecte entre $\mathbf p$ y $\mathbf q$ .

de la desigualdad de Cauchy-Schwarz se tiene: $$<\mathbf u,\dot\gamma> <= \left\lVert u \right\rVert*\left\lVert \dot\gamma \right\rVert = \left\lVert \dot\gamma \right\rVert$$ desde $\mathbf u$ es un vector unitario.

tomando la integral sobre el camino de p a q obtenemos: $$\int <\mathbf u,\dot\gamma> <= \int \left\lVert \dot\gamma \right\rVert$$ la última integral es sólo la longitud de la curva por definición. sin embargo si tomamos $ \mathbf u = \frac{\mathbf p - \mathbf q}{\left\lVert \mathbf p - \mathbf q \right\rVert} $ obtenemos que la primera integral es igual: $$ \int <\mathbf u,\dot\gamma> = \frac {\int <\mathbf p - \mathbf q,\dot\gamma>}{\left\lVert \mathbf p - \mathbf q \right\rVert} = \frac { <\mathbf p - \mathbf q,\mathbf p - \mathbf q>}{\left\lVert \mathbf p - \mathbf q \right\rVert} = \left\lVert \mathbf p - \mathbf q \right\rVert $$ por definición de normas inducidas a partir del producto interior. por lo que obtenemos que la longitud de la curva es al menos la longitud de la recta que pasa por los puntos. por tanto la recta es el camino más corto desde $\mathbf p$ a $\mathbf q$ .

Para la unicidad, nótese que la desigualdad de Cauchy-Schwarz es la igualdad si los elementos del producto son paralelos, por lo que la tangente a la curva está siempre en la dirección de la línea específica entre $\mathbf p$ y $\mathbf q$ . por lo que la curva es la línea.