Evaluar la serie $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(\frac{\pi a}{a+b}n)}{n^3}+\frac{\sin(\frac{\pi b}{a+b}n)}{n^3}$

Question

Tengo para evaluar la serie:

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(\frac{\pi a}{a+b}n)}{n^3}+\frac{\sin(\frac{\pi b}{a+b}n)}{n^3}$$

Donde $a$ $b$ son números reales.

Ya que no soy muy bueno con la serie traté de fuerza bruta mediante un complejo método de análisis que consiste en multiplicar por la cotangente y calcular el residuo de a $n=0$ (no sé el nombre de este método, lo siento!), pero no me llega el resultado, mi maestro me dio.

Me di cuenta de esto es la serie de Fourier de la expansión de alguna función, pero no sé cómo adivinar dicha función.

Así que me preguntaba si alguien me podría dar algunos consejos.

Answer 1

Vamos a reescribir la serie como

$$ S(a,b)=\Im\sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac {e^{\pi i a/(a+b)})^n}{n^3}+\frac {e^{\pi i b/(a+b)})^n}{n^3}\right] $$

Ahora podemos aplicar la definición de las funciones polylogarithmic

$$ \text{Li}_m(z)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{z^n}{n^m} $$

por lo tanto, obtener

$$ S(a,b)=\Im\left[\text{Li}_3(e^{\pi i a/(a+b)})+\text{Li}_3(e^{\pi i b/(a+b)})\right] \quad (*) $$

que es me temo que lo mejor que uno puede hacer para arbritary $a,b$. Por ejemplo, si $a,b $ son números naturales podemos reescribir esto como una suma finita de más de Hurwitz valores Zeta.

Una representación alternativa es términos de Clausen funciones de $\text{Si}_m(z)$

$$ S(a,b)=\text{Si}_3(e^{\pi i a/(a+b)})+\text{Si}_3(e^{\pi i b/(a+b)}) $$

Para los valores especiales $a=b$, $a=0$ encontremos particularmente buenos resultados

$$ S(a,a)=\frac{\pi^3}{16} \quad \\ S(0,b)=0 \quad $$

Todos defintions he usado y mucho más se puede encontrar aquí