Conjuntos de Borel de comprensión

Question

Yo estoy estudiando la teoría de la probabilidad, pero no puedo comprender qué son los conjuntos de Borel. A mi entender, un ejemplo sería si tenemos un segmento de línea [0, 1], entonces un Borel en este intervalo es un conjunto de todos los intervalos en [0, 1]. ¿Estoy equivocado? Necesito más ejemplos.

También quiero entender lo que es $\sigma$-álgebra de Borel.

Answer 1

Para intentar motivar a las respuestas técnicas, estoy de arar a través de estas cosas a mí mismo, así que, gente, ¿ me corrija:

Imaginar Arnold Schwarzenegger altura fue grabado con infinita precisión. Prefiere usted para intentar adivinar de Arnie exacta de la altura, o algún intervalo que contiene?

Pero lo que si hay es un sitio web para este juego, que proporciona algunos pre-definidos los intervalos? Que podría ser bastante molesto, si decir, las bandas que se ofreció fue de $[0,1m)$$[1m,\infty)$. Sospecho que la mayoría de nosotros podría mejorar en aquellos.

¿No sería mejor ser capaz de elegir un intervalo arbitrario? Eso es lo que la Borel $\sigma$-álgebra ofrece: una opción de todas las posibles intervalos que usted puede ser que necesite o desee.

Sería un serio (infinitamente) de largo menú desplegable, pero es conceptualmente equivalente a: todos los miembros están predefinidas. Pero usted todavía consigue la conveniencia de la elección de un intervalo arbitrario.

Los conjuntos de Borel de función los bloques de construcción para el menú que es el Borel $\sigma$-álgebra.

Answer 2

En primer lugar, permítanme aclarar una idea errónea.

El conjunto de todos los subintervalos es no un conjunto de Borel, sino más bien una colección de conjuntos de Borel. Cada subinterval es un conjunto de Borel en su propio acuerdo.

Para comprender los conjuntos de Borel y su conexión con la probabilidad, es necesario tener en cuenta dos cosas:

1. La probabilidad es $\sigma$-aditivo, es decir, si $\{X_i\mid i\in\mathbb N\}$ es una lista de los eventos mutuamente excluyentes, a continuación,$P(\bigcup X_i)=\sum P(X_i)$.

   Por lo tanto la colección de todos los eventos que podemos medir su probabilidad debe tener la propiedad de que es cerrado bajo contables de los sindicatos; trivialmente requerimos cierre bajo los complementos (es decir, la negación) y, por tanto, por DeMorgan también hemos cierre contable de las intersecciones.

   Si es así, el conjunto de todos los eventos que podemos medir la probabilidad de que ocurra es de un $\sigma$-álgebra.

2. Queremos extender la idea de que la probabilidad de que $x\in (a,b)$ donde $(a,b)$ es un subinterval de $[0,1]$ es exactamente $b-a$. Es decir, la longitud del intervalo es la probabilidad de que se elija un punto de ella.

Combinar estos dos resultados y tenemos que los conjuntos de Borel de $[0,1]$ es una colección que es un $\sigma$-álgebra, y de que contiene todos los subintervalos de $[0,1]$. Ya no queremos agregar más de lo que necesitamos, entonces los conjuntos de Borel se define para ser el más pequeño $\sigma$-álgebra que contiene todos los subintervalos.

Answer 3

Aquí hay algunos ejemplos muy sencillos.

1. El conjunto de todos números racionales en $ [0,1] $ es un subconjunto de Borel de $ [0,1] $.

   Más generalmente, cualquier subconjunto contable de $ [0,1] $ es un subconjunto de Borel de $ [0,1] $.

2. El conjunto de los números irracionales en $ [0,1] $ es un subconjunto de Borel de $ [0,1] $.

   Más generalmente, el complemento de cualquier subconjunto de Borel de $ [0,1] $ es un subconjunto de Borel de $ [0,1] $.

Answer 4

Sí, te equivocas. Hay mucho más a conjuntos de Borel de intervalos.
Básicamente cualquier subconjunto de $[0,1]$ que es probable que pensar es un conjunto de Borel.
La $\sigma$-álgebra de Borel de $[0,1]$ es el conjunto de todos los subconjuntos de Borel de $[0,1]$.

Answer 5

Los conjuntos de Borel son los obtenidos a partir de los intervalos por medio de las operaciones permitidas en un $\sigma$-álgebra. Así que podemos construir en un (transfinito) "" secuencia de pasos:

1. Empezar con finito sindicatos de cerrado-abierto intervalos. Estos conjuntos son completamente primaria, y forman un álgebra.
2. Se acuestan contables de uniones e intersecciones de primaria conjuntos. Lo que se obtiene ya incluye bloques abiertos y conjuntos cerrados, las intersecciones de un conjunto abierto y un conjunto cerrado, y así sucesivamente. Así que usted obtenga un álgebra, que aún no $\sigma$-álgebra.
3. De nuevo, se acuestan contables de uniones e intersecciones a 2. Observe que usted recibe estrictamente más grande de la clase, ya que una contables intersección de contables uniones de intervalos no está necesariamente incluido en 2. Ejemplos explícitos de conjuntos en 3, pero no en 2 de incluir $F_\sigma$ conjuntos, como, digamos, el conjunto de los números racionales.
4. Y hacer lo mismo de nuevo.

$\dots$ Y de nuevo y de nuevo.

E incluso después de una secuencia de pasos que aún no han finalizado. Tomemos, por ejemplo, un contable de la unión de un conjunto construido en el paso 1, un conjunto construido en el paso 2, y así sucesivamente. Esta unión puede muy bien no han sido construidos en cualquier paso aún. Por axiomas de $\sigma$-álgebra, debe incluir también - si usted desea, como paso $\infty$ (o, técnicamente, el primer ordinal infinito, si usted sabe lo que eso significa).

Y, a continuación, continuar en el mismo camino hasta llegar a la primera innumerables ordinal. Y sólo entonces se obtiene finalmente la generada $\sigma$-álgebra.