Resolución de ecuaciones diofánticas con $x, y, x^2, y^2$

Question

Mi padre-en-ley, que es de 90 años de edad y emigró de Rusia, le gusta me desafían la lógica y acertijos matemáticos. Él me dio esto:

Encontrar enteros $x$ $y$ que satisfagan tanto las $(1)$ $(2)$

$$x + y^2 = 8 \tag{1} $$ $$x^2 + y = 18 \tag{2}$$

He encontrado una solución derivando esta ecuación:

$$ x(x+1) + y(y+1) = 26$$

lo que significa, necesito encontrar dos números que suman a $26$, donde cada número es el producto de dos números consecutivos. A través de ensayo y error, he encontrado una solución. Desde sus días de la universidad me parece recordar que hay una forma más elegante el uso de la teoría de Diophantine ecuaciones.

Alguien puede recordarme o punto a mí para un fácil seguir la explicación del método para la resolución de problemas como estos?

Answer 1

Tenemos %#% $ #%

Observe que $$x^2+x+y^2+y=26\iff(2x+1)^2+(2y+1)^2=106=2\cdot53=2(7^2+2^2)=(7-2)^2+(7+2)^2$ puede tener sólo una representación como suma de dos cuadrados $106$

Vea también la Función de suma de cuadrados y http://mathoverflow.net/questions/29644/enumerating-ways-to-decompose-an-integer-into-the-sum-of-two-squares

Answer 2

Aquí es una forma alternativa de resolver el problema original. $$\left\{\begin{array}{ll}x+y^2&=&8\\x^2+y&=&18\end{array}\right. \tag{1}$$

En lugar de sumar, restar las dos ecuaciones y obtener $$x^2-y^2+y-x=10\Rightarrow\\(x-y)(x+y-1)=10$$ Para dos enteros $a$ $b$ producto $10$, la lista de todas las posibilidades. $$1\times 10,2\times 5,2\times 5, 10\times 1,-1\times -10,-2\times -5,-2\times -5, -10\times -1, $$

Ahora, para cada una de las $a$$b$, obtener el sistema de $$\left\{\begin{array}{lll}x-y&=&a\\x+y-1&=&b\end{array}\right. \tag{2}$$

Esta es una ecuación lineal y tiene solución $x=\dfrac{a+b+1}{2}$ $y=\dfrac{b-a+1}{2}$ (si en lugar de $10$, dicen, tenemos $16$; el uso de la restricción de que $x$ $y$ son enteros para eliminar ciertas opciones. En particular, podemos eliminar los casos donde $a$ $b$ tienen la misma paridad, porque $a+b+1$ $a-b+1$ tienen que ser aún).

Conecte los valores de $a$ $b$ obtenido a partir de $(2)$ para obtener los posibles valores de $x$ $y$ (que son enteros). Y vuelva a comprobar los valores de $x$ $y$ hasta la obtención de resultados con el sistema original (porque somos esencialmente la resolución de $(2)$ e no $(1)$, y no hemos mostrado que $(2)$ es condición necesaria y suficiente para$(1)$).

$$\begin{array}{rr|rr} a&b&x&y\\ \hline 1&10&6&5\\ 2&5&4&2\\ 5&2&2&4\\ -1&-10&-5&-4\\ -2&-5&-3&-1\\ -5&-2&-1&-3\\ -10&-1&-4&-5 \end{array}$$

Ver que $(4,2)$ es la única respuesta posible para $(x,y)$.

Answer 3

Puede prescindir de la teoría de ecuaciones diofánticas. Conectado la otra ecuación, $$x^2+y=18\implies y=18-x^2.$% #% $ #%$or $$x+(18-x^2)^2=8$ $

Con un polinomio solver, tiene dos raíces positivas $$x^4-36x^2+x-316=0.$ y $x=4$.

Answer 4

Para valores pequeños, el mejor enfoque es por búsqueda exhaustiva.

Considerando $x+y^2=8$, sabes que hay que para hacer dos intentos: $y=1$ y $y=2$, con el correspondiente $x=7$ y $x=4$!!!!!!

El % restante de la ecuación $x^2+y=18$confirma $(4,2)$.