Mostrar que $e^n>\frac{(n+1)^n}{n!}$ sin utilizar la inducción.

Question

Tengo un problema de desigualdad que es como sigue:

Mostrar que $e^n>\frac{(n+1)^n}{n!}$

Que puedo hacer por inducción pero me han dicho que lo demuestre sin inducción.

Mi trabajo:

$$e^n=1+n+\frac{n^2}{2!}+\frac{n^3}{3!}+........$$ $$e^n>1+n+\frac{n^2}{2!}+\frac{n^3}{3!}+........+\frac{n^n}{n!}$$ $$e^n>\frac{n^n}{n!}+\frac{n^{n-1}}{(n-1)!}.......+\frac{n^2}{2!}+n+1$$

Desde aquí no puedo ir más lejos.

Seré agradecido si chicos me puede proporcionar una completa solución/prueba de esta desigualdad. También funciona una sugerencia.

Gracias de antemano.

Answer 1

ps

Answer 2

De $\int\ln x\,dx=x\ln x-x+C$, obtenemos

$$\int_1^{n+1}\ln x\,dx=(n+1)\ln(n+1)-n$$

Pero puesto que $\ln x$ es estrictamente creciente, tenemos

$$\int_1^{n+1}\ln x\,dx\lt\ln2+\ln3+\cdots+\ln n+\ln(n+1)=\ln(n!)+\ln(n+1)$$

Se sigue que

$$n\ln(n+1)-n\lt\ln(n!)$$

que exponentiates a % o $(n+1)^n/e^n\lt n!$ $(n+1)^n/n!\lt e^n$