Un límite superior para los más pequeños, tales $N$ se puede encontrar de la siguiente manera: Revisión de dos enteros positivos $x_1\neq x_2$ y encontrar correspondiente $y_1,y_2$ s.t. $(x_1^2-1)(y_1^2-1)=(x_2^2-1)(y_2^2-1)$. Esta es una Pell-como la ecuación de $y_1,y_2$ con una solución trivial ($y_1=y_2=1$), por lo que también tiene un no-trivial solución (infinitamente muchos, en realidad), que se puede encontrar utilizando la teoría de la Pell de tipo de ecuaciones.
La elección de $x_1=2$, $x_2=3$ llegamos $3y_1^2-8y_2^2=-5$. Vamos $a=3y_1$, $b=y_2$ para obtener
$$a^2-24b^2=-15$$
a los que sabemos que la solución $(3,1)$.
No trivial de la solución a$a^2-24b^2=1$$(5,1)$. (En general, que desea consultar una tabla para encontrar no trivial de la solución, tales como el de la Wikipedia.) Componer tanto, nos encontramos con la no-trivial
$$a+b\sqrt{24}=(3+\sqrt{24})(5+\sqrt{24})=39+8\sqrt{24}.$$
(De hecho, $39^2-24\cdot8^2=-15$.)
De ello se sigue que
$$(2^2-1)(13^2-1)=(3^2-1)(8^2-1)=504.$$
Encontrar el más pequeño de tales $N$ ahora puede fácilmente hacer uso de un ordenador, mediante la comprobación de todos los $n\leq 504$.
Alternativamente, tenga en cuenta que $(5^2-1)^2>504$, por lo que cualquier menor no únicamente representable $N$ tiene un factor $2^1-1$, $3^2-1$ o $4^2-1$. Debido a que el procedimiento de arriba te da la más pequeña posible solución $(y_1,y_2)$ para un determinado par de $(x_1,x_2)$ (Este es un punto sutil y necesita más aclaración; provisionalmente ver el comentario al final), es suficiente para repetir el procedimiento con los pares $(2,4)$$(3,4)$. Los resultados son:
$(2,4)$: $3y_1^2-15y_2^2=-12$, o $y_1^2-3y_2^2=-4$; El más pequeño trivial solución a$a^2-3b^2=1$$(2,1)$. Componer, obtenemos $(2+\sqrt3)(1+\sqrt3)=11+5\sqrt3$, dando $(2^2-1)(11^2-1)=(4^2-1)(5^2-1)=360$.
$(3,4)$: $8y_1^2-15y_2^2=-7$; deje $(a,b)=(8y_1,y_2)$:
$a^2-120b^2=-56$. El más pequeño trivial solución a $a^2-120b^2=1$
es $(11,1)$. Componer $11+\sqrt{120}$ $8+\sqrt{120}$ claramente
le da un mayor $N$ (a menos $120^2-1$).
Llegamos a la conclusión de que los más pequeños de $N$$360$.
Nota: En general, para garantizar que se encontró el segundo más pequeño de la solución a un Pell-escriba la ecuación de $x^2-dy^2=a$ no es suficiente para encontrar una primitiva de la solución de $z_1$ y componer con la solución mínima $z_0$$x^2-dy^2=1$; como no podía ser de otra primitiva de soluciones, en cuyo caso el segundo más pequeño de la solución es el segundo más pequeño primitivo de la solución, y no de la composición de los más primitivos, $z_1$, $z_0$. Encontrar todos los primitivos soluciones es una tarea no trivial, pero de límites superiores son conocidos, tales como $|y|\leq\frac{z_0+1}{2\sqrt{dz_0}}\sqrt{|a|}$.
