biyección de $\mathbb{Q} - \{a\}$ a $\mathbb{Q}$ utilizando únicamente funciones elementales?

Question

Me preguntaba si se puede definir una biyección de $\mathbb{Q} - \{a\}$ a $\mathbb{Q}$ utilizando únicamente funciones elementales ( $a \in \mathbb{Q}$ )?

Por supuesto que hay muchas biyecciones teóricas de conjuntos como esa, pero estoy buscando una constructiva, una fórmula, usando funciones elementales, una sonrisa y un abrazo si puedes hacerlo usando sólo operaciones de campo.

Editar: - Las funciones elementales son operaciones de campo, exponenciales, logaritmos, constantes, raíces y demás. - Puede dar funciones a trozos, pero sólo un número finito de trozos convexos.

Answer 1

Si $\alpha \in \mathbb{N}$ es fácil. En cualquier otro caso, considere lo siguiente $f:\mathbb{Q}-\{\alpha\}\rightarrow \mathbb{Q}$

$ f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} x & \mbox{if $x \notin\mathbb{N}$}\\ \alpha & \mbox{if $x = 0$}\\ x-1 & x\in\mathbb{N}^* \end{array} \right. $