Transformada de Fourier: Comprensión del cambio de propiedad de la base con ideas de álgebra linear

Question

La noción de la transformada de Fourier siempre fue un poco un misterio para mí, y recientemente se me presentó el análisis funcional. Soy un principiante en este campo, pero todavía estoy casi viendo que la transformada de Fourier puede ser visto como un cambio de base en un espacio de funciones. He leído el siguiente artículo que trata de construir una intuición:

https://sites.google.com/site/butwhymath/fourier-analysis/the-fourier-transform

Ahora, puedo ver que las transformadas de Fourier y de Fourier Inversa tranforms están proyectando y la proyección de la espalda de una función de $f(x)$ a y desde la base de exponenciales complejas, $e^{i2\pi sx}$, respectivamente, de: $$ F(s) = \int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-i2\pi sx}dx$$

$$ f(x) = \int_{-\infty}^{\infty}F(s)e^{i2\pi sx}ds$$

Aquí están mis preguntas acerca de este punto de vista para hacerlo más claro:

1)Si he entendido bien, esta operación es similar a la de regular de álgebra lineal de cambio de base de operaciones de $a=Mb$$b=M^{-1}a$. A grandes rasgos, en este caso $M$ es una matriz de incontable número de filas y columnas, donde cada fila es $e^{-i2\pi sx}$, en función de $x$, y de manera similar a $M^{-1}$ filas $e^{i2\pi sx}$, las funciones de $s$. Es esta la interpretación correcta?

2)no tengo el exacto rigor para esto, pero intuitivamente se piensa, si 1) es una interpretación correcta, entonces se debe obtener a partir de la "infinito dimensional de" la multiplicación de la matriz $MM^{-1}$ algo que se asemeja a un infinito dimensional de la matriz de identidad. Para probar que, he construido el producto interior donde $s$ se mantiene fijo e igual en ambos términos de dos objetos de $M$$M^{-1}$, que debe corresponder a una "diagonal" elemento de $MM^{-1}$: $\int_{-\infty}^{\infty}e^{i2\pi sx}e^{-i2\pi sx}dx = \int_{-\infty}^{\infty}e^{0}dx=\infty$. Así que esto no es $1$ como se espera de una matriz de identidad. ¿Cuál es la razón de que?

Answer 1

Si usted tiene una base ortonormales $\{ e_{k} \}_{k=1}^{N}$ en un número finito de dimensiones del espacio, como lo que usted podría obtener con las bacterias Gram-Schmidt, entonces cada vector $x$ se expresa como $$ x = \sum_{k} (x,e_{k})e_{k}. $$ Esto se extiende a $L^{2}[0,2\pi]$$e_{k} =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{ikx}$: $$ f = \sum_{k}(f,e_{k})e_{k} $$ La importancia de esta base es que se trata de vectores propios de a $Lf=\frac{1}{i}\frac{d}{dx}$ porque $Le_{k}=ke_{k}$. Así que esta base diagonalizes la diferenciación del operador. Finalmente, lo mismo ocurre en un continuo sentido de $L^{2}(\mathbb{R})$ con \begin{align} f & = \int_{k} (f,e_{k})e_{k} \\ & = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\left(\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-ikt}dt\right)e^{ikx}dk \end{align} Esta generalización en lugar de una extensión exacta debido a $e_{k}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{ikx}$ es no, estrictamente hablando, una eigenfunction de $L=\frac{1}{i}\frac{d}{dx}$ porque $e_{k} \notin L^{2}(\mathbb{R})$, debido al hecho de que la función no es cuadrado integrable. Sin embargo, para cada $\delta > 0$, el siguiente es de cuadrado integrable $$ e_{k,\delta}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{k-\delta}^{k+\delta}e_{k}(x)dk, $$ y, en la norma de $L^{2}$, se vuelve más y más a un autovector con autovalor $k$$\delta\downarrow 0$: $$ \|Le_{k,\delta}-ke_{k,\delta}\| < \delta\|e_{k,\delta}\|. $$ Así que la transformada de Fourier es el coeficiente de la función y la expansión de $f$ se parece mucho a un "continuo" (es decir, la integral) de expansión de $f$ aproximado en funciones propias de la diferenciación del operador. (El $e_{k,\delta}$ incluso son mutuamente ortogonales si los intervalos de $(k-\delta,k+\delta)$ no se superponen.)

Como nota final para hacer esta generalización más precisa, $$ \|x\|^{2} = \sum_{k}|(x,e_k)|^{2} $$ vale también para la continua ortogonal de expansión: $$ \|f\|^{2} = \int_{k} |(x,e_{k})|^{2}dk. $$ Esta es la forma en Parseval vio, y después de los cuales la identidad de Parseval se denomina: $$ \int_{-\infty}^{\infty}|f(x)|^{2}dx = \int_{-\infty}^{\infty}|\sombrero{f}(k)|^{2}dk. $$

Answer 2

Usted puede imaginar que la derivada de una matriz como esta, como los correspondientes valores de cada elemento de enfoque de cero (límite de la definición):

O la integración como este(suma de riemann):

Por otra parte, la transformada de fourier ya tiene una representación de la matriz para el caso discreto

https://en.wikipedia.org/wiki/DFT_matrix

Usted necesita ampliar esta matriz hasta el infinito y reducir el intervalo correspondiente a cero (suma de riemann) para obtener la continua transformación.

$$\int_{-\infty}^{\infty}e^{0}dx=\infty$$

Piense en esto como un resumen de los que están en la diagonal. La diagonal componentes tienen el valor 1, que corresponden a un intervalo infinitesimal (dx) y cuando usted suma infinitamente muchos de ellos se obtiene el infinito.

Alternativamente pensar en qué pasaría si se multiplica la derivada de la matriz y de la integral de la matriz. Usted obtendrá la matriz de identidad. Mediante la integración de la que sería la suma de los que están en la diagonal.