la topología clásica pero con rejas

Question

Estoy buscando una referencia, en el caso de las referencias que existe.

Así que actualmente, existen al menos dos enfoques para la topología.

1. El punto o "clásica" en el enfoque de la topología, que se refiere a sí mismo con los pares ordenados $(X,\tau)$ llamados espacios topológicos.

2. El "sin sentido" aproximación a la topología, que se refiere a la (clases particulares) de las rejillas $(\tau,\wedge,\vee)$ llamado marcos. (Para obtener más información, véase, por ejemplo, Wikipedia.)

Estoy interesado en un concepto a medio camino entre el 1 y el 2. Podríamos llamarlo "el enfoque clásico, pero con celosías."

En particular, en lugar de estudiar punto-conjunto de espacios topológicos $(X,\tau)$, podemos ocuparnos de la "red teórica" espacios topológicos $(P,\tau)$ donde $P$ es una red que es isomorfo a un powerset de celosía, y $\tau$ es un subconjunto de a $P$ que es cerrado con respecto a la arbitraria une etc.

La principal motivación: Podemos ser capaces de debilitar el requisito de que $P$ debe ser isomorfo a un powerset, y así obtener una teoría más general, que es todavía un clásico en el sabor.

Tiene esta idea se ha estudiado antes? Si es así, una referencia de la recomendación sería genial.

Answer 1

No tengo una referencia precisa. Pero esto puede dar algo para ver y/o algunas personas a preguntar.

Si usted me hubiera preguntado la pregunta similar sobre la convexidad en lugar de topología, yo he dado una respuesta positiva. El clásico punto-establecer la topología satisface los siguientes axiomas de la topología de conjuntos cerrados $\tau \subseteq \mathcal{P}(X)$:

1. $\tau \ni {\emptyset, X}$
2. para cualquier subconjunto finito $K\subseteq\tau$ tenemos $\cup K\in \tau$
3. para cualquier subconjunto $J \subseteq \tau$ tenemos $\cap J \in \tau$.

La colección de todos los subconjuntos convexos $C$ en un espacio afín $E$ satisfacer una selección similar de propiedades:

1. $C \ni {\emptyset, X}$
2. para cualquier subconjunto $J \subseteq C$ tenemos $\cap J \in C$
3. (opcional, dependiendo de la definición) para cualquier dirigida (con respecto a la inclusión) subconjunto $S\subseteq C$ tenemos $\cup S \in C$

Así que uno ve que hay ciertas similitudes entre convexa estructuras y topológica de estructuras.

Ahora, para convexo estructuras, algo similar a lo propuesto ha sido desarrollado. A veces es llamado "resumen de convexidad", y una formulación es algo como esto:

Defn: Vamos a $(X,\leq)$ ser un completo entramado. Una convexidad de sistema de $\mathcal{C} \subseteq X$ es un subconjunto que es cerrado bajo infimum. El sistema se dice que ser inductivo si es que además cerrado bajo dirigida supremums.

Tenga en cuenta que $X$ no tiene que ser el powerset celosía para un conjunto. Resulta que muchos de los hechos de análisis convexo puede ser reproducida en este contexto más general. Véase, por ejemplo, Ivan Cantante Resumen Análisis Convexo o MLJ van der Vel de la Teoría de Estructuras Convexas.

Dada la similitud entre convexa y estructuras topológicas (por ejemplo, el convex hull operador es casi un cierre de operador en el Kuratowski sentido), tal vez la especie de "topología como un subconjunto de un completo entramado de" punto de vista se puede encontrar vinculadas a la literatura en resumen convexidad, y tal vez los expertos en esa área puede apuntar en la dirección correcta, por así decirlo.