¿dominado la convergencia de funciones $\mathbb R^n\to\mathbb R^m$?

Question

Conozco el teorema de convergencia dominada funciones $f:\mathbb R^n\to\mathbb R$.

Ahora que $U\subset\mathbb R^n$ y $f: U\to\mathbb R^m$. ¿Hay cualquier teorema dominado de la convergencia de funciones 'vectoriales'?

Claramente uno podría integrar cada componente y aplicar el teorema de convergencia dominada para cada componente pero puede usted aplicarlo demasiado sin utilizar este hecho?

¿Sobre todo lo que una acerca de la función dominada, puede utilizar una norma $|\cdot|$ y algo como $|f|\leq |g|$?

Answer 1

Es un enfoque que tenga en cuenta que si $x_k \in \mathbb{R}^n$, entonces $x_n \to x$iff $\phi(x_k) \to \phi(x)$ para cualquier funcional lineal $\phi$ (esto funciona en $\mathbb{R}^n$ ya que coinciden la convergencia fuerte y débil).

En particular, dado un $f_n, f, g$ $f_n(x) \to f(x)$ y $\|f_n\| \le g$, tendremos para un lineal funcional $\phi$ $|\phi(f_n)| \le \|\phi\| \|f_n\| \le \|\phi\|g$ y así $\int \phi(f_n) \to \int \phi(f)$.

Desde $\phi(\int f_n) = \int \phi(f_n), \phi(\int f) = \int \phi(f)$, vemos que el $\phi(\int f_n) \to \phi(\int f)$ % todo $\phi$y por lo tanto $\int f_n \to \int f$.

Answer 2

El teorema de convergencia dominada se aplica a funciones medibles con valores en un espacio de Banach, con la función dominante sigue siendo no negativos y integrable con $\|f_n(x)\|\leq g(x)$

La hipótesis de convergencia casi por todas partes puede ser debilitada para requerir sólo convergencia en medida.