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Visualización de segunda derivada

Dado un gráfico de una función simple $f$ (continua, sin oscilación, lisa). Aproximadamente podemos decir cuánto $f'(a)$ es para cualquier punto $a$, es decir, observando la pendiente de la gráfica en ese punto. ¿Hay alguna forma para estimar el $f''(a)$? Determinar su signo es bastante fácil marcando la convexidad del $f$ en ese momento. Pero ¿cómo sabemos cuánto $f''(a)$ es?

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Lorin Hochstein Puntos 11816

Al igual que el tamaño de $f'(a)$ está relacionado con el cómo "empinada" la gráfica de $f(x)$$a$, el tamaño de $f''(a)$ está relacionado con tener "curvo" la gráfica de $f(x)$$a$. Es decir, $f''(a)$ se refiere a la curvatura. Ver la imagen en la página de la Wikipedia: el tamaño de la derivada segunda es el recíproco del radio de la osculating círculo (literalmente, "besos círculo") en el punto de $(a,f(a))$. Explícitamente la curvatura en el punto de $a$ está dada por la expresión $$\frac{|f''(a)|}{(1+(f'(a))^2)^{3/2}}$$ por lo que su tamaño le da información sobre el tamaño de $f''(a)$ (puesto que usted ya sabe cómo de grande $f'(a)$ es).

Alternativamente, usted puede pensar acerca de cómo la pendiente de la tangente mientras que usted se mueve un poco lejos de $x=a$. El más rápido de la pendiente de los cambios, el más grande de la segunda derivada es en valor absoluto (porque significa que la tasa de cambio de $f'(x)$ es muy grande). Si la pendiente cambia muy poco cuando uno se aleja de $a$, entonces la segunda derivada es pequeño en valor absoluto.

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Kariem Puntos 1416

La derivada segunda es relativa a la curvatura de la gráfica; un mayor valor de la segunda derivada significa que la pendiente está aumentando a un ritmo más rápido, y por lo que la función se curva hacia arriba más rápido. Así que la segunda derivada se puede interpretar como la fuerza con que la gráfica es la curva en ese punto.

No es tan simple, ya que como la pendiente aumenta la misma derivada segunda creará más suaves curvas; considerar el hecho de que una parábola tiene una constante derivada segunda, pero la curva de la gráfica es claramente más nítida en el vértice. Así que hay que tener también en cuenta la inclinación de la función es cuando la estimación de la derivada segunda.

En general, es difícil estimar visualmente la segunda derivada, ya que depende de la curvatura y la inclinación de la pendiente de un gráfico.

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