Es de cualquier grupo continuo homomorfismo $\mathbb{R}\to \mathbb{R}^n$ $C^\infty$

Question

Demostrar que cualquier continua homomorphism $\mathbb{R}\to \mathbb{R}^n$, con respecto a la habitual abelian estructura de grupo, en realidad es $C^\infty$.

Mi intento: Vamos a $\varphi$ ser un mapa.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\varphi(x+h) - \varphi(x)} {h} = \lim_{h \to 0} \frac{\varphi (h)}{h},$$

así que si $\varphi'$ existe, es constante en $\mathbb{R}$, y es suficiente para existir en cero. Ahora tenga en cuenta que $h\mapsto \frac{\varphi(h)}{h}$ es continua para $h \neq 0$ ya que es el producto de un continuo de valores escalares de la función y la continuidad de una función con valores de vectores. Ahora

$$ \frac {\varphi \left(\frac{h}{m/n} \right ) } {\frac{h}{m/n}} = \frac{(n/m)\varphi(h)}{\frac{h}{m/n}} = \frac{\varphi(h)}{h}, \;\;\; m,n \in \mathbb{Z}$$

por lo $h\mapsto \frac{\varphi(h)}{h}$ es constante en $\mathbb{Q}$. Porque es continua, es constante en $\mathbb{R}$, y tiene un límite en cero.

Le agradecería si podrías dejarme saber si hay partes del argumento me podría explicar mejor, o señalar los errores.

Answer 1

Usted puede incluso mostrar que $\varphi$ es lineal (en particular $C^\infty$), es decir, hay $x_0 \in \mathbb{R}^n$ tal que $\varphi(t)=tx_0$ % todos $t\in \mathbb{R}$.

El argumento es bastante similar a la tuya: que $x_0 = \varphi(1)$. Por aditividad $\varphi(m)=mx_0$ % enteros todos $m \ge 0$. Que $q=m/n$ $m,n> 0$ de números enteros. Forma $mx_0=\varphi(m)=\varphi(nq)=n\varphi(q)$coclude $\varphi(q)=m/nx_0=qx_0$ % racionales todos $q \ge 0$. Desde inversas a inversas en grupo homomorfismo mapa, obtenemos $\varphi(-q)=-\varphi(q)=(-q)x_0$. Por lo tanto, $\varphi(q)=qx_0$ % racionales todos $q$. Así $\varphi$ es lineal en los racionales y por continuidad el reclamo sigue.