Definición de un logaritmo

Question

Mi pregunta es la siguiente:

Es la continuación de un útil de primaria manera de tratar con los argumentos negativos? Si no, ¿cuál es el mejor (primaria o no) de manera de lidiar con argumentos negativos del logaritmo? ¿Cómo podría usted ampliar los métodos de argumentos complejos?

Hoy en día yo estaba en pre-cálculo y estaba jugando con el $\pi$ aproximaciones (terminado mi trabajo), porque hace poco hice un probabilística de la Aguja de Buffon $\pi$ aproximación y el acompañamiento de la prueba de AP estadísticas del proyecto, y que estaba interesado en otras $\pi$ aproximaciones.

Al hacerlo me encontré con este razonamiento: $$ e^{i\pi} + 1 = 0 \Rightarrow \ln(-1)=i\pi . $$ Que me generalizada a: $$ \log_{b}(x) = \log_{b}(x) + \frac{i\pi}{\ln(b)}; x < 0.$$ Yo, a continuación, se define el logaritmo de la función de una manera recursiva para todos los argumentos de $ x \in \mathbb{R} \wedge x \= 0$ de la siguiente manera: $$ \log_b(x) = \begin{cases} \log_b(x) & x > 0 \\ \log_b(x) + \frac{\pi i }{\ln(b)} & x < 0 \end{casos} $$ Porque mi pre-cálculo maestro había dicho que la función logarítmica no se define por la negativa de los argumentos, y yo sabía que el análisis complejo se extiende el logaritmo (pero no estoy allí todavía, acabo de empezar el análisis real) para el complejo argumentos, supuse que no era primaria manera de tratar con los argumentos negativos (aunque a partir de la definición de logaritmo natural de cálculo he comprobado, pero nunca se demostró que había una manera). Hay dos problemas evidentes que puedo ver con mi definición, es decir, es recursiva y no es continua en cero

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He tratado de usar el enfoque de la utilización de: $$-\int\limits_{-x}^1 \frac{dt}{t} = \ln(-x)$$ pero no consiguió nada, así que volví a la identidad de Euler enfoque, pero la más generalizada.

Aquí está el argumento que se me ocurrió:

deje $x \in \mathbb{R}$. Nosotros tomamos el logaritmo natural a ser bien definidos para los positivos reales, y por lo $\ln(|x|)$ está bien definido.

También tomamos $\log_b(x)$ a definirse de la siguiente manera: $$ \log_b(x) := \frac{\ln(x)}{\ln(b)} $$

Vamos a mostrar que el $$\forall x, \log_b(-|x|) = \frac{\pi i}{\ln(b)}+ \log_b(x)$$

lema: En primer lugar mostramos que $$\ln(-|x|) = \pi i + \ln(|x|)$$

Consideramos $e^{zi} = \cos(z) + i \sin(z)$ donde $z \in \mathbb{R}$ $z$ es el modulo $2 \pi$. podemos ver que $ln(\cos(z) + i \sin(z)) = zi$, si dejamos $\cos(z) + i \sin(z) = -1$$z \equiv \pi \bmod{2\pi}$.

Ahora miramos hacia atrás y ampliar nuestra ecuación original: $$\ln(-|x|) = \ln(-1) + \ln(|x|)\ \ .$$ Now we can substitute $\ln(-1)$ with $\ln(\cos(z) + i \sin(z))$, where we have restricted $z$ to $-2\pi \leq z \leq 2\pi $ and we say it is equal to $\pi$. Tenemos $$\ln(-|x|) = \ln(-1) + \ln(|x|) = \ln(\cos(z) + i \sin(z)) + \ln(|x|) \ \ .$$

Ahora podemos ver que, debido a $ln(\cos(z) + i \sin(z)) = zi$ podemos decir: $$\ln(-|x|) = \pi i + \ln(|x|)\ \ \ \Box$$

Ahora vamos a utilizar este resultado para mostrar nuestro original coyuntura $$\forall x, \log_b(-|x|) = \frac{\pi i}{\ln(b)}+ \log_b(x) \ \ .$$

Debido a que hemos definido $\log_b(x)$ $\frac{\ln(x)}{\ln(b)}$ podemos ver que $$\log_b(-|x|) = \frac{\ln(-|x|)}{\ln(b)}$$ que, a través de nuestro lema, vemos que es $$\log_b(-|x|) = \frac{\pi i + \ln(|x|)}{\ln(b)}$ $ , que se simplifica a $$\forall x, \log_b(-|x|) = \frac{\pi i}{\ln(b)}+ \log_b(x) \ \ \ \ \blacksquare$$

Este argumento, en mi opinión, es un poco más fuerte que el de partida en el caso especial $e^{\pi i} -1 = 0$.

También he considerado el logaritmo a través de la integral de la $$\int \frac{dx}{1+ax} = \frac{1}{a}\ln(1+ax) + C$$, pero no he visto si sería útil para seguir este camino.

Answer 1

Una línea de ejemplo concreto de cómo su método se ejecuta en problemas es que $\log(-2) + \log (-3) =_{\textit{def}} \log 6 + 2 \pi i$ en lugar de $\log 6$, que obviamente quieren.

La solución es generalizar su pensamiento a todo el plano complejo (excepto en el origen): si $z \in \mathbb{C}\setminus \{0\}$, entonces se puede escribir en coordenadas polares, $z = r \exp (i \theta) = \exp (l + i \theta)$ donde $l$ está definida de forma única (como $\log(|z|) \in \mathbb{R}$) y $\theta$ se define a un múltiplo de $2 \pi i$. De la liquidación de la real la mitad de la línea de toda una $2\pi$ radianes en sentido horario sobre el origen trae de vuelta a donde comenzó, pero añade $2\pi i$ a el logaritmo.

Así que si usted es feliz para definir su logaritmo $\log(z)$ no como una función de dar un único número complejo, sino como una multifunción:

$$\log( r \exp(i \theta)) =_\mathit{def} \log (r) + i \theta + 2 \pi i \mathbb{Z}$$ $$ = \{\log (r) + i \theta, \log(r) + i(\theta + 2\pi), \log (r) + i( \theta - 2\pi), \ldots\} $$

entonces funciona bien. (Equivalentemente, se puede definir $\log$ como tomar valores en el tubo en forma de cociente de espacio $\mathbb{C}/(2\pi i\mathbb{Z})$, si que se siente más natural.)

Siempre y cuando no te importe tirar múltiplos de $2\pi i$ cada tan a menudo como calcular, o (va hacia atrás), a la búsqueda entre los múltiplos de $2\pi i$ para el valor que funciona, esto le da un completamente manera práctica de calcular. También, a pesar de que he estado en silencio usando el logaritmo natural, puede ser obligado a trabajar con otras bases demasiado a pesar de lo que usted necesita preocuparse acerca de la escala de la componente real al girar alrededor, por lo que los múltiples valores no concuerdan muy bien: la mejor respuesta es para definir $\log_a(z) = \log(z) / \log (a)$ a lo largo.

Como se observa, todo esto se rompe horriblemente en el origen (donde todos los ángulos son equivalentes, no sólo múltiplos de $2\pi i$) y no hay nada que usted puede hacer acerca de eso.

Answer 2

El problema que encontré es la definición de logaritmo complejo. ¿Qué es un logaritmo? Bien, llegamos a la logarítmica como inversa de la función exponencial. Así, por escrito $$\mathrm{e}^{iπ}+1=0\quad\implies\quad \ln(−1)=iπ$$ se supone que hay una relación inversa.

El problema es que en el plano complejo función exponencial golpea el mismo valor de varios parámetros. La forma habitual de tratar con esto es restringir los argumentos de la función, de modo que en este dominio restringido cada argumento se asigna a un valor diferente. Este es el estándar en el cálculo, y nos permite tener una inversa de la función de restricción. En el caso de la función exponencial, tal inversa se denomina logaritmo. ¿Qué se entiende muy bien es que un logaritmo puede no ser continua en todo el plano complejo, que tiene que ser restringida a sólo una parte del plano complejo con el fin de ser continua. Usted puede ver el artículo de Wikipedia sobre el logaritmo complejo que incorpora imágenes que pueden ayudar a visualizar la función.

Lo que he mencionado es menos importante que su intención original de la informática, el número de $\pi$, que el hecho de que tener una fórmula como $$\pi = \frac{\ln(-1)}{i}$$ no es el fin de los problemas. Incluso si $\ln(-1)$ es definido, éste aún no se ha calculado. Qué esperas para usar la fórmula, lo conecte y en algunos potente calculadora de lo que le da una respuesta para $\pi$? ¿Cómo se que $\ln$ se calcula? Si usted sería como una caja negra, solución que no busque más que $$\pi=\arccos(-1)\quad\mbox{or}\quad\pi=4\arctan(1).$$ Incluso mejor enchufe $\pi$ en el mismo potente calculadora y se volverá muy buena aproximación del número.

Después de mencionar a todos los que, y si usted no está interesado en el enfoque de caja negra, pero le gustaría aproximado de $\pi$ ti mismo, todavía hay una manera de utilizar la fórmula de $$\mathrm{e}^{i\pi}+1=0$$ hacer que (tenga en cuenta que hay otras más formas óptimas). Por la fórmula de Euler $$ \mathrm{e}^{ix}=\cos x + i \sin x\mbox{ which you would like to be eqal }-1.$$ Es decir, que te gustaría que $$ \cos x = -1 \quad\mbox{and}\quad \sin x = 0.$$ Por lo tanto, si su calculadora sabe cómo calcular sine bien, usted puede tratar de resolver la ecuación de $\sin x = 0$ $x=3$ $x=4$ por algún método numérico. Si usted es inexperto trate de interseccion método, si a usted le gusta la convergencia más rápida probar el método de newton. Si usted sería como para el cálculo a seguir solamente las exponenciales complejas se puede reformular la ecuación de problemas problema para convertirse en: $$\mbox{find }x\mbox{ such that }\quad\mathrm{Re}(\mathrm{e}^{ix})=-1$$ donde he añadido $\mathrm{Re}$ sólo para estar seguro de que lo que sale de la calculados $\mathrm{e}^{ix}$ es un número real y puede ser comparado a $-1$.