El núcleo de la idea, creo, es que las funciones analíticas son más general de los objetos de poder de la serie. Seguro, puede representar una analítica de la función localmente por una convergente de alimentación de la serie, pero no garantiza la convergencia fuera de un determinado ámbito (es decir, un disco abierto o eje de abscisas), aunque la función que existe en otros lugares también. Es como cómo usted puede ver una muy pequeña área alrededor de un personaje en un juego de video, pero de lo contrario, no puede ver el mundo entero de una sola vez (aunque los mapas del mundo en el menú inicio poner un amortiguador en la analogía).
Sin embargo, la caracterización formal de los términos en una serie (por ejemplo, ver a $2^{-n}$ y teniendo en cuenta que un caso especial de $x^n$$x=1/2$) es suficiente para codificar todos los de el comportamiento local de una función, y sorprendentemente si usted tiene todos los locales de información posible acerca de un complejo-analítica de la función en un cierto punto (es decir, todos sus derivados), a continuación, esta información determina la función del comportamiento en todas partes - pero sólo "determinado" en el sentido de fijar la función de los valores de todas partes, asegurándose de que no hay extra grados de libertad para que fuera el comportamiento, no en el sentido de construcción explícita. Una potencia de serie no es siempre a la tarea de representar el mismo comportamiento en todas partes.
Tomar la serie geométrica $\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+\cdots$ por ejemplo. Si se hace una gráfica de $1/(1-x)$, se obtiene
$\hskip 1.7in $ ![geo]()
que muestra $y=1/2$ $x=-1$ aunque $1-1+1-1+1-\cdots$ no converge. IOW,
$$\lim_{x\to-1^+}\left(\sum_{n=0}^\infty x^n\right) \quad\ne\quad \sum_{n=0}^\infty \left(\lim_{x\to-1^+}x^n\right).$$
De modo que la potencia de la serie de la representación no es capaz de ir o lo que quede de $x=-1$, aunque no es lo más general, y único (hasta los más complejos-analiticidad y monodromy), objeto (la analítica de la función $1/(1-x)$) que concuerda con el poder de la serie en el intervalo de $(-1,1)$ y también se extiende más allá. Esta es la razón por la que nos dicen que la función analíticamente continúa la expresión original de la serie geométrica. También puede buscar en la serie de representaciones de $1/(1-x)$ en otros lugares, por ejemplo la expansión de Taylor acerca de la $x=-1$ da
$$\frac{1}{1-x}=\frac{1}{2}+\frac{x+1}{4}+\frac{(x+1)^2}{8}+\cdots,$$
válido estrictamente en el intervalo de $(-3,1)$. Y entonces usted podría dar otra potencia de la serie a la izquierda, y luego otra a la izquierda, y así sucesivamente. Por lo tanto analítica continuación puede extender la serie geométrica indefinida, a la izquierda. Pero, por supuesto, tanto la serie geométrica y la función real de $1/(1-x)$ tiene un polo en $x=1$, por lo que buscar estrictamente en la línea real no podemos ir a ningún otro derecho. Esto, sin embargo, no deja de nosotros cuando nos fijamos en el plano complejo en general.
Cuando en el plano complejo, nos encontramos con que un poder de la serie originalmente definida en los reales de los que convergieron sólo en un intervalo de ahora converge sólo en un disco abierto. Sin embargo, no todos los puntos en el exterior de un disco de tal necesariamente va a ser un polo de la función general de que el poder de la serie converge, entonces podemos tomar una ruta de escape fuera de la estrictamente definidas región definida, al igual que hemos ampliado la serie geométrica a la izquierda de $-1$, y terminamos la ampliación de nuestra función general más y más si ampliamos de forma indefinida. Wikipedia tiene una ilustración de esto:
$\hskip 0.6in $ ![logarithm]()
Usted notará un leve problema en la anterior: si usted va a través del proceso de continuación analítica alrededor de un poste (aquí $z=0$), podría no terminar en el mismo número complejo que la serie original evaluado. Esto significa que la función debe ser definida con una rama cortada (o por el contrario ser estudiado por más sofisticada de la teoría).
Ahora, de vuelta a la divergencia de la serie. Si tienes uno y quieres usar una analítica de la función de regularizar , usted tiene que hacer una elección de lo que de forma general, desea que sea una instancia de. Por ejemplo, con $1+2+4+8+\cdots$, se puede elegir mirar la serie geométrica evaluado formalmente en $x=2$, o se podría decir que es $e^{-0s}+e^{-1s}+e^{-2s}+e^{-3s}+\cdots$ evaluado en $s=-\log2$. No es garantía de que obtendrá una respuesta única - puede depender de lo que su elección de la función general es - pero hay opciones estándar que se pueden invocar. Un método es zeta de regularización, donde con el fin de evaluar la infinita suma $a_1+a_2+a_3+\cdots$ definimos una función zeta $$\zeta_A(s)=\frac{1}{a_1^s}+\frac{1}{a_2^s}+\frac{1}{a_3^s}+\cdots$$ and then analytically continue it out of its abscissa of convergence and evaluate it at $s=-1$. (This is why $1+2+3+\cdots=\zeta(-1)=-1/12$ en un Euleresque manera.) También resulta que además de la toma de una serie y que se convierta en una instancia de una más general de la función divergentes de la alimentación de la serie de otra área de la convergencia, se pueden realizar operaciones en las sumas parciales con el fin de evaluar a un número finito de expresión de estas formas de regularización se llaman summability métodos. (Voy a tratar de ampliar sobre esto más tarde...)
