¿Qué es el exponente de un grupo?

Question

No entiendo bien la definición:

El exponente de un grupo G es el menor número natural x tal que para todo $g \in G,g^x = e$ .

Parece que está diciendo, para CADA elemento del grupo, cuando sigues aplicando la operación de grupo a sí mismo qué potencia a sí mismo te da e.¿Cuál es el menor número para el que esto es cierto para todos los elementos de G.

En primer lugar, ¿qué sentido tendría crear una definición como esa, qué propósito tiene algo así? Supongo que vería que se puede obtener el lcm de todos los exponentes que son iguales a e, pero parece un proceso bastante tedioso averiguar dónde g es igual a e.

Es evidente que me falta algo, ¿alguien puede ayudarme?

Gracias a las puntuaciones.

Answer 1

La definición del exponente no es del todo correcta. El exponente de un grupo $G$ es el generador no negativo del ideal $\{z \in \mathbb{Z} : \forall g \in G (g^z=1)\}$ . Eso significa: O es cero (normalmente la gente dice entonces que el exponente es infinito...), o es positivo, y entonces es el más pequeño positivo número natural $z$ tal que $g^z=1$ para todos $g \in G$ .

¿Qué sentido tiene? En primer lugar, el exponente es un invariante de isomorfismo de un grupo, lo que significa que dos grupos isomorfos tienen el mismo exponente. Esto significa que la clase de grupos (hasta el isomorfismo) se descompone en clases de grupos (hasta el isomorfismo) de exponente dado $e$ para cada $e \geq 0$ . Esto puede ser útil para la clasificación de grupos.

Ejemplos fáciles: Grupos de exponente $1$ son triviales. Grupos de exponente $2$ son abelianos (esto es un ejercicio estándar). Grupos de exponente $3$ no son necesariamente abelianos, ya que el grupo de Heisenberg sobre $\mathbb{F}_3$ espectáculos.

El problema de Burnside es encontrar aquellos números naturales positivos $n,m$ de manera que cada $m$ -grupo generado de exponente $n$ es finito. Es un problema abierto. Véase aquí para el caso resuelto $n=3$ .