Me gustaría ver un ejemplo explícito de una extensión no trivial elemental de la estructura $(\mathbb{N}, +, \cdot, 0, 1)$ donde $\mathbb{N}$ incluye el cero. Sobre todo estoy interesado en los contables.
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ManuelSchneid3r
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Por desgracia, Tennenbaum del teorema (https://en.wikipedia.org/wiki/Tennenbaum%27s_theorem) muestra que dicha ampliación no es computable. Así que no hay realmente un ejemplo claro.
Dicho esto, si usted es feliz con ultrafilters, luego de la fijación de un nonprincipal ultrafilter $\mathcal{U}$ podemos tomar la ultrapower de $\mathbb{N}$ a lo largo de $\mathcal{U}$. Mientras $\mathcal{U}$ no es countably cerrado (es suficiente para suponer, por ejemplo, que $\mathcal{U}$ es un ultrafilter en $\mathbb{N}$), el resultado será un no estándar primaria de la extensión de $\mathbb{N}$. Desafortunadamente, va a ser incontable - al menos el tamaño de continuo.
Tenga en cuenta que el Henkinization prueba de compacidad es constructivo: la verdad es que se construye un modelo (contables, incluso!) de la aritmética que no es isomorfo al modelo estándar. Esto es matemáticamente mucho domador en una variedad de sentidos de la ultrapower de la construcción.
Tomas Dabasinskas
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41
Vale la pena señalar es que los modelos no estándar de la aritmética son construibles en la lógica de la teoría de la WKL$_0$. Débil König del lexema es a veces considerado como una forma de que el axioma de elección; sin embargo, puede ser demostrado en el clásico de Zermelo–Fraenkel de la teoría de conjuntos sin el axioma de elección. En el sentido de ser edificable en ZF, tales modelos pueden ser llamada explícita. Un modelo explícito fue construido por Skolem ya en 1933 el uso de secuencias de ordinario enteros (es decir, secuencias extraídas de la llamada intención de modelo).
Estrechamente relacionados con la discusión que está teniendo lugar aquí.
