¿Es Liouville ' ecuación s un axioma de la mecánica estadística clásica?

Question

Supongamos que tenemos un clásico problema estadístico con coordenadas canónicas $\vec{q} = (q_1, q_2, \dots, q_n)$ $\vec{p} = (p_1, p_2, \dots, p_n)$ tales que cumplan la habitual de los corchetes de Poisson: $$\begin{align} \{ q_i, p_j \} & = \delta_{i,j} \\ \{ q_i, q_j \} & = 0 \\ \{ p_i, p_j \} & = 0 \\ \end{align}$$ Uno puede mostrar que el tiempo de evolución de cada dinámica cantidad $f(\vec{q}, \vec{p}, t)$ está dado por $$\frac{d f}{d t} = \frac{\partial f}{\partial t} + \{ f, H \} = \frac{\partial f}{\partial t} + \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial q_i} \dot{q_i} + \frac{\partial f}{\partial p_i} \dot{p_i} = \frac{\partial f}{\partial t} + (\nabla f) \cdot \vec{v} = \frac{\partial f}{\partial t} + \nabla (f \cdot \vec{v})$$ con $\nabla = (\frac{\partial}{\partial q_1}, \dots, \frac{\partial}{\partial q_n}, \frac{\partial}{\partial p_1}, \dots, \frac{\partial}{\partial p_n})$, $\vec{v} = (\dot{q_1}, \dots, \dot{q_n}, \dot{p_1}, \dots, \dot{p_n})$ y $H$ el Hamiltoniano del sistema.

Liouville del teorema establece que: $$\int d^n p ~ ~ d^n q = \int d^n p' ~ ~ d^n q'$$ si $(\vec{q}~', \vec{p}~')$ $(\vec{q}, \vec{p})$ son tanto canónica de coordenadas, por ejemplo, relacionados por una transformación canónica. Por lo que el espacio de fase de volumen es una constante entre los sistemas que se describen mediante coordenadas canónicas.

Ahora, considere el espacio de fase de la densidad de $\varrho(\vec{q}, \vec{p}, t)$ cual es la densidad de la dinámica permitió que las trayectorias en un punto dado, $(\vec{q}, \vec{p})$ en el espacio de fase para una instancia dada de tiempo $t$.

La ecuación de Liouville lee: $$\frac{d \varrho}{d t} = 0$$ que (junto con la ecuación de $f$) dice que $\varrho$ es un (a nivel local) se conserva la densidad en el espacio de fase. Debido a $\varrho \ge 0$, se puede concluir que no existen fuentes de trayectorias en el espacio de fase: trayectorias de no inicio, final o de la cruz.

Generalmente la ecuación de Liouville se deriva del teorema de Liouville. Sin embargo no he visto una derivación de la que en algún momento no fue asumido que $\varrho$ es un (a nivel local) se conserva la densidad. Por lo tanto, que el razonamiento es circular.

¿Conoce usted a un no-circular de la derivación de la ecuación de Liouville o es de hecho un axioma de la clásica de la mecánica estadística?

Answer 1

¿Por qué Hay una Necesidad de una Mayor Axioma

Para derivar la ecuación de Liouville, que de hecho necesita otro axioma más a sus supuestos. Algo así como: "no hay nett creación o destrucción de cualquier partícula de cualquier especie en todo el sistema de partículas estado de la evolución". La manera más fácil de entender la necesidad de este axioma es citar un sistema de wherefor de Liouville de la ecuación no puede sostener a pesar de que las partículas de someterse a la dinámica de la evolución descrita por las ecuaciones de Hamilton a lo largo de sus vidas: un sistema de partículas sometidas a un alejados del equilibrio de una reacción química. En tal sistema, el reactivo especies de la partícula son consumidos por la reacción, y desaparecen del espacio de fase. Producto de reacción de las partículas aparecen en el espacio de fase en su lugar. Por otra parte, la energía química se convierte en energía cinética (o viceversa), por lo que un producto de las especies "de repente" aparece en un punto diferente en el espacio de fase a partir de aquella en la que la consecuencia consumida de los reactivos especies de partículas desaparecido. Liouville las ecuaciones sería conceptualmente ser reemplazado por un acoplado sistema de ecuaciones, una para cada especie $j$, de la forma:

$$\frac{\partial\,\rho_j(X,\,t)}{\partial\,t} = \{H,\,\rho_j\} + \sum\limits_k \int_\mathcal{P} M_{j\,k}(X,\,X^\prime)\,\rho_k(X^\prime,\,t)\,\mathrm{d}\Gamma^\prime$$

donde la integral es sobre todo el espacio de fase $\mathcal{P}$, $\Gamma$ es la medida definida por el volumen, la forma y el kernel $M_{j\,k}$ expresa detallada stochimetric equilibrio entre la reaccionando químicamente especies así como de otros principios físicos tales como la conservación de la energía, el impulso y el estricto aumentar con el tiempo de la entropía. Nota que dije "neto" de la creación o destrucción: la ecuación de Liouville funcionaría si la reacción fueron en equilibrio.

Completo De Axiomas

Los siguientes axiomas (1. y 2. son equivalentes a la suya) se obtiene que la ecuación de Liouville:

1. Axioma 1: el espacio de Fase es una $2\,N$ dimensional $C^2$ colector $\mathcal{P}$;
2. Axioma 2: Puntos en el espacio de fase siempre y sólo evolucionará con un parámetro de flujo $t$ a través de las ecuaciones de Hamilton definido por una $C^2$ Hamiltonianos $H:\mathcal{P}\times \mathbb{R}\to\mathbb{R}$, este último posiblemente variable de tiempo (por lo tanto el dominio $\mathcal{P}\times\mathbb{R}$);
3. Axioma 3: La totalidad de los estados de las partículas son puntos en $\mathcal{P}$ evolucionando de acuerdo al axioma 2 y no hay nett creación o destrucción de cualquier partícula de cualquier especie en todo el sistema de partículas en estado de evolución.

A partir Completo de Axiomas para la Ecuación de Liouville

A partir de estos axiomas, la cadena de inferencias que usted necesita es el siguiente:

1. La inferencia 1: a partir De los axiomas 1. y 2., deducir que cualquier $X\in T_p\,\mathcal{P};\;\forall p\in \mathcal{P}$, expresado en canónica de coordenadas (es decir, aquellos para los cuales las ecuaciones de Hamilton espera) que es Mentira-arrastrado por el Hamiltoniano de flujo evoluciona de acuerdo a $\dot{X} = A(t)\,X$ donde $A(t)\in\mathfrak{sp}(N,\,\mathbb{R})$, con lo que el simpléctica 2-formulario de $\omega(X,\,Y)\stackrel{def}{=} X^T\,\Omega\,Y$ donde, para el caso especial de la canónica de coordenadas, $\Omega =\left(\begin{array}{cc}0&-1_N\\1_N&0\end{array}\right)\;\forall p\in\mathcal{P}$ se conserva bajo el mapeo $\mathcal{P}\mapsto \Phi(H,\,t)\,\mathcal{P},\,\forall t\in\mathbb{R}$ inducida por el Hamiltoniano de flujo. (De hecho, en cualquier punto dado $p\in\mathcal{P}$ $N$ diferentes $C^2$ Hamiltonianos tal que las tangentes a sus flujos span $T_p\,\mathcal{P}$ a deducir que la Mentira derivado de la $\omega$ en cualquier dirección es cero, por lo $\mathrm{d}\omega=0$ de Cartan fórmula de la relación de la Mentira y el Exterior de los derivados, pero esta información aún más a nuestras necesidades inmediatas). Mirad que la inferencia 1 si tiene o no el Hamiltoniano ser variable en el tiempo. En el último caso, el Hamiltoniano no es constante a lo largo del flujo, pero el flujo aún conserva la forma simpléctica.
2. La inferencia 2: a partir De la inferencia de la 1, se tiene de inmediato que la forma de volumen $\Gamma = \omega^N$ ($N^{th}$ potencia exterior) se conserva bajo Hamiltoniana de los flujos. Así se deduce del teorema de Liouville (en oposición a la ecuación). Alternativamente, la conservación de la simpléctica forma que se muestra en la Inferencia de 1 implica que la matriz de Jacobi de la transformación de $\mathcal{P}\mapsto \Phi(H,\,t)\mathcal{P}$ es un simpléctica de la matriz (miembro de $\mathrm{Sp}(N,\,\mathbb{R})$), que siempre tiene una unidad determinante. Por lo tanto la forma de volumen se conserva.
3. La inferencia 3: Pero la forma de volumen también es el Jacobiano de la transformación de $\mathcal{P}\mapsto \Phi(H,\,t)\,\mathcal{P}$$J(p,\,\Phi(H,\,0))=J(p,\,\mathrm{id})=1$. Desde la forma de volumen se conserva, el Jacobiano $J(p,\,\Phi(H,\,t))=1,\forall p\in\mathcal{P},\forall t\in \mathbb{R}$. Por lo tanto $\Phi$ está en todas partes un local bijection (teorema de la función inversa). Alternativamente, se puede hacer la misma deducción de esta escalera de la Inferencia 1, lo que implica que la matriz de Jacobi de la transformación de $\mathcal{P}\mapsto \Phi(H,\,t)\mathcal{P}$ es un simpléctica de la matriz (miembro de $SP(N,\,\mathbb{R})$), la cual nunca es singular y, de hecho, siempre tiene una unidad de determinante.
4. La inferencia 4: a partir De los Axiomas 2 y 1, deducimos que la función de distancia se define en la canónica de co-ordenadas por $d(p_1,\,p_2) = (p_1-p_2)^T\,(p_1-p_2)$, cero iff $p_1=p_2$, entre cualquier par de puntos de $p_1,\,p_2\in\mathcal{P}$ debe ser una función continua del parámetro de flujo $t$ (continua con respecto a la topología con base abierta bolas que define esta función de distancia);
5. La inferencia 5: a partir De la Inferencia de 3, en cualquier $p\in\mathcal{P}$$t\in \mathbb{R}$, existe un conjunto abierto $\mathcal{U}_p$ lo suficientemente pequeño tal que $\Phi(H,\,t):\mathcal{U}_p\to\Phi(H,\,t)(\mathcal{U}_p)$ es un bijection. Ahora la pregunta que se plantea es si $\Phi(H,\,t)$ puede asignar cualquier punto fuera de $\mathcal{U}_p$ a $\Phi(H,\,t)(\mathcal{U}_p)$ (situación que haría $\Phi(H,\,t)$ un local bijection a nivel mundial, pero muchos a uno, para algunos $t\in\mathbb{R}$). Sin embargo, si dos o más puntos se asignan a un punto de $\tilde{p}\in\Phi(H,\,t)(\mathcal{U}_p)$, a partir de la inferencia de 4. deducir que $\exists t$ suficientemente pequeño como para que los dos elegidos preimages de $\tilde{p}$ ambos se encuentran en $\mathcal{U}_p$, contradiciendo así a local bijectivity. (De manera informal, a partir de la inferencia de 4, múltiples puntos de una función que sólo puede surgir de las asignaciones a lo largo conectado "bifurcada" líneas de flujo, por lo que el zoom lo suficientemente cerca en el punto de bifurcación y por lo tanto contradice local bijectivity, mostrando que las horquillas son imposibles). Repitiendo el razonamiento para $-t$ nos permite deducir que los múltiples puntos son imposibles e $\Phi(H,\,t):\mathcal{P}\to\mathcal{P}$ es un mundial bijection (de hecho un symplectomophism en la luz de la inferencia 1, pero, de nuevo, esta información es más a nuestras necesidades);
6. La inferencia 6: a partir De la inferencia de 5 y el axioma 3, deducir que si hay algún número $M$ de las partículas en cualquier subconjunto $\mathcal{V}\subseteq\mathcal{P}$, entonces hay exactamente $M$ de las partículas en $\Phi(H,\,t)(\mathcal{V})$. A partir de la inferencia 2. deducir que $\mathcal{V}$ $\Phi(H,\,t)(\mathcal{V})$ tienen el mismo volumen. Por lo tanto inferir que el promedio de la densidad de las partículas en cualquier subconjunto $\mathcal{V}\subseteq\mathcal{P}$ es constante si la partícula estados y los subconjuntos de evolucionar por Hamiltoniana de los flujos;
7. La inferencia 7: Aplicar la inferencia de la 6 a la luz de un pequeño conjunto reducido de acuerdo a un adecuado limitar el proceso a deducir que la función de densidad de $\rho(p,\,t)$ a punto de $p$) y en el momento $t$ debe ser la misma que la densidad en el punto $\Phi(H,\,-\mathrm{d}t)\,p$ tiempo $t-\mathrm{d}t$. Poniendo estas palabras en símbolos: $\mathcal{L}_{-X}\rho=\frac{\partial\,\rho}{\partial\,t}$ donde $X$ es el campo de vectores tangentes a la Hamiltoniana de flujo de $\Phi$. Este es, por supuesto, $\{H,\,\rho\}=\frac{\partial\,\rho}{\partial\,t}$, o la ecuación de Liouville.

La circularidad de Otras Pruebas

En última instancia, no creo que las pruebas de la ecuación de Liouville basa en el teorema de la divergencia son diferentes de los de arriba: creo que son tácitamente la introducción de Axioma 3, como "obvio" (aunque espero que os he mostrado al principio de mi respuesta que no siempre tienen) y, a continuación, la ecuación de continuidad y flujos incompresibles son simplemente una expresión de este asume tácitamente axioma. Así que no creo que estas "pruebas" son circulares, algo mal escrito en hacer uso de supuestos tácitos.

Resumen

Imagen del usuario sumas todo esta muy bien (yo era tal vez demasiado brainfried para hacer el último paso):

Para el Axioma 3, sin embargo, se mostró que el Axioma 3 $\Rightarrow \frac{d \varrho}{d t} = 0$. La otra dirección, $\frac{d \varrho}{d t} = 0 \Rightarrow$ Axioma 3 es fácilmente discute en cualquier libro de texto (trayectorias de no inicio, final o de la cruz, etc.). Así que, de hecho hemos Axioma 3 $\Leftrightarrow \frac{d \varrho}{d t} = 0$ cuando estamos en el contexto de Axioma 1+2, por ejemplo, la mecánica clásica. Por lo tanto, la ecuación de Liouville es un axioma.

y, de hecho, en la presencia de los otros dos, mi axioma 3 es lógicamente equivalente a la ecuación de Liouville. Mi versión es quizás físicamente más transparente, pero abierto a la interpretación, por lo que la afirmación de la ecuación de Liouville como un axioma es, quizás, más conciso y preciso. Así que la respuesta a la pregunta del título es que la Ecuación de Liouville de hecho debe ser añadido como un axioma, y, en presencia de los Axiomas 1 y 2, tiene el sentido que el número de partículas de todas las especies se conserva.

Answer 2

La probabilidad de que el sistema esté en la fase de la celda $d\Gamma(t)$ tiempo $t$ $$P(t)=\rho(q,p,t)d\Gamma(t).$$ El tiempo de evolución de las trayectorias y la posible explícita la dependencia temporal de $\rho$ se considera también en esta. Ahora infinitesimal $dt$ tiempo más tarde $$P(t+dt)=\rho(q+dq,p+dp,t+dt)d\Gamma(t+dt),$$ because probability is normed (eg. if we let the phase volume flow with the time evolution it should not change), these two must be equal, but by Liouville's theorem we have $d\Gamma(t)=d\Gamma(t+dt)$, the $\rho$ expressions must agree, so we have $$0=\rho(q+dq,p+dp,t+dt)-\rho(q,p,t)=\frac{\partial\rho}{\partial q}dq+\frac{\partial\rho}{\partial p}dp+\frac{\partial\rho}{\partial t}dt,$$ from which we have (by "dividing" by $dt$) $$\frac{d\rho}{dt}=\frac{\partial\rho}{\partial q}\dot{q}+\frac{\partial\rho}{\partial p}\dot{p}+\frac{\partial\rho}{\partial t}=0,$$ which is equal to $$\{H,\rho\}=\frac{\partial\rho}{\partial t},$$ que es la ecuación de Liouville.

Ahora, en equilibrio, nos posulate $\rho$ ser explícitamente de tiempo independiente (como una definición de equilibrio), entonces tenemos $$\{H,\rho\}=0,$$ so $\rho$ es una constante de movimiento.

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Editar:

Para justificar la handwave-y el paso ($P(t)=P(t+dt)$), consideran que para la totalidad del espacio de fase $\mathcal{P}$, debemos tener $$1=\int_{\mathcal{P}}\rho(q,p,t)d\Gamma(t).$$ By Liouville's theorem, the phase flow preserves $d\Gamma$, por lo que es independiente del tiempo. Por lo tanto, para la integral para ser independiente del tiempo, el integrando debe ser así.

Este es todavía un poco handwave-y, como la integral que sucede en el espacio de fase, mientras que nosotros nos tomamos nuestro tiempo derivar a ser "a lo largo de la evolución en el tiempo", pero creo que, esto puede ser aún más formalizada por dejar que la fase de flujo de actuar sobre todo el integral, por ejemplo. por primera toma $$1=\int_{\mathcal{P}}\rho(q,p,t)d\Gamma,$$ and then taking $$1=\int_{\Phi_t(\mathcal{P})}\rho\ d\Gamma,$$ and comparing the two (where $\Phi_t$ es la fase de flujo).

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Edit2:

Lo siento por la masa de las ediciones, pero acabo de comprobar, y mi anterior intuición parece correcta. Algunos geometría diferencial será empleado aquí.

La forma de Liouville es $d\Gamma$ (no se que $d$ aquí es sólo una notación, no un exterior de derivados), que en la canónica (Darboux-) coordenadas está dada por $d\Gamma=dq^1\wedge...\wedge dq^n\wedge dp_1\wedge...\wedge dp_n$.

La fase de densidad define por sí misma (posiblemente) dependiente del tiempo $2n$-forma como $\rho(q,p,t)d\Gamma$. Deje $\Phi_t$ ser la fase de flujo y considerar $$\frac{d}{dt}|_{t=0}\int_{\phi_t(\mathcal{P})}\rho d\Gamma=\frac{d}{dt}\int_{\mathcal{P}}(\Phi_t)^*(\rho d\Gamma)=\int_\mathcal{P}\frac{d}{dt}(\Phi^*_t\rho\Phi^*_td\Gamma)=\int_\mathcal{P}\left(\mathcal{L}_X\rho+\frac{\partial\rho}{\partial t}\right)d\Gamma+\rho\mathcal{L}_Xd\Gamma.$$ Here $X=d\Phi/dt|_{t=0}$ the Hamiltonian vector field, all time derivatives are taken at $t=0$, the partial time derivative appeared because $\rho$ ha explícita dependencia del tiempo, y el último término es igual a cero por el teorema de Liouville.

Debido a que las integrales son diffeomorphism-invariante, esto derivado debe ser cero, por otra parte, esto debe ser cierto para cualquier densidad de probabilidad $\rho$, por lo tanto el integrando debe desaparecer, por lo que tenemos $$\mathcal{L}_X\rho+\frac{\partial\rho}{\partial t}=0,$$ and $X$ is the same as your $\vec{v}$, por lo que esta es en realidad la ecuación de Liouville.