¿Qué significa "localmente trivial" hacer por nosotros?

Question

Para la siguiente, vamos a trabajar en la suave categoría. (Pero hay ejemplos en la categoría topológica también es bienvenida.)

La definición habitual de un paquete es de fibra de

Def con fibra paquete es el cuádruple $(E,B,\pi,F)$ donde $E,B,F$ son diferenciables colectores, $\pi: E\to B$ es un surjection que es localmente trivial. Localmente trivial significa que por cada $e\in E$, existe un abierto de vecindad $B\supset U\ni \pi(e)$ tal que $\pi^{-1}(U)$ es diffeomorphic a $U\times F$.

También se encuentra la siguiente definición de una fibred colector en la literatura

Def Un fibred colector es el triple de $(E,B,\pi)$ donde $E,B$ son diferenciables colectores e $\pi$ es un surjection de $E\to B$ con la máxima rango tal que la dimensión de $E$ $e\in E$ es mayor que o igual a la dimensión de $B$$\pi(e) \in B$.

También se encontraría la observación de que una fibra de paquete en particular, es un ejemplo de un fibred colector.

Preguntas

1. Espero que no me equivoco al pensar que la definición de fibred colector, con $\pi$ surjective, máximo rango, y con la dimensión condición, es equivalente a $\pi$ ser un surjective la inmersión de $E\to B$. Es eso correcto o hay un contraejemplo (va)?

2. La pregunta más importante, ¿qué localmente trivial a hacer por nosotros?

   una. Hay un ejemplo trivial de fibred colector que es no un paquete de fibra de si permitimos que nuestro diferencial de colectores para ser desconectado con los componentes conectados de diferentes dimensiones. A continuación, el local de las fibras de $\pi^{-1}(b_1)$ $\pi^{-1}(b_2)$ $b_1\neq b_2\in B$ pueden tener diferentes dimensiones y no puede ser el mismo colector $F$.

   b. También tenemos Ehresmann del fibration teorema, el cual establece que $f:M\to N$ liso, surjective, submersive, y adecuada implica que $(M,N,f)$ es localmente trivial fibration.

En particular, estoy buscando para ganar algo de intuición en lo que fibred colectores que no son haces de fibras pueda parecer, aparte de caso (a) anterior. También sería agradable ver a una no adecuada contraejemplo a Ehresmann del teorema.

Answer 1

Para la primera pregunta, si la dimensión de $E$ es mayor que o igual a la dimensión de $M$, luego tener la máxima categoría es el mismo que el diferencial mapa se surjective. La otra dirección también es obvio.

Ya que estamos tratando con diferenciable colectores y tenemos que la propiedad sobre el diferencial de mapa, el colector $E$ tiene un local de la estructura del producto, es decir, para cualquier $e\in E$ hay un barrio $U$ $e$ y un colector $F_e$ tal que $U$ es diffeomorphic a $\pi(U)\times F_e$ (esto es una consecuencia directa del teorema de la función implícita). Sin embargo, esta estructura de producto no es lo suficientemente restrictivo y puede que al final, por ejemplo, con las fibras con diferentes topologías o homotopy tipos, por ejemplo, la fibred colector $(\mathbb{R}^2-\{0\},pr,\mathbb{R})$ donde $pr:\mathbb{R}^2-\{0\}\rightarrow\mathbb{R}$ es la proyección de la primera coordenada, ilustra este fenómeno (por cierto, esto también es un ejemplo de no-propio mapa, que no es un haz de fibras). Así que, con sólo que la estructura del producto es difícil de relacionar la topología de las variedades implicadas. Sin embargo, una vez que te impone el local de la trivialización de la condición, usted deshacerse de las "patologías" (por ejemplo, el de las fibras de cada componente de la base convertirse en diffeomorphic). También, local como banalizaciones dar el paquete de fibra de los homotopy el levantamiento de los bienes, de modo que usted puede calcular los invariantes de los colectores a través de secuencias exactas de homotopy grupos, o la Serre espectral de secuencia, etc.

Estoy seguro de que el local como banalizaciones hacer mucho más para nosotros, sino que es lo que yo sé hasta ahora.

Otro fibred colector de que no es un haz de fibras es la siguiente (no adecuado) mapa: definir $\mathbb{R}^2/\mathbb{Z}^2\rightarrow\mathbb{R}$ $(x,y)$ mod $\mathbb{Z}^2\mapsto y-\sqrt{2}x$. Entonces este es un surjective sumbersion en su imagen que no es localmente trivial.