¿Cuál es el límite de la secuencia $\lim\limits_{n \to\infty} \frac{n!}{n^n}$ ?

Question

$$\lim_{n \to\infty} \frac{n!}{n^n}$$

Tengo una pregunta: ¿es válido utilizar la fórmula de Stirling para demostrar la convergencia de la secuencia?

Answer 1

Mis dos centavos: usar $$\left(\frac{n}{e}\right)^n<n!<e\left(\frac{n}{2}\right)^n\tag{1}$$ es fácil obtener la estimación $$\frac{n!}{n^n}<e\cdot \frac{1}{2^n}\to 0,$$

Escribo la prueba del lado derecho de $(1)$ como lo estamos utilizando, y la izquierda se puede obtener de manera similar.

Uso de la desigualdad clásica para las medias aritméticas y geométricas $\frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n}\geqslant \sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}$ en el primer paso, tenemos $$n!<\left(\frac{n+1}{n}\right)^n=e\left(\frac{n}{2}\right)^n\frac{\left(\frac{n+1}{n}\right)^n}{e\left(\frac{n}{2}\right)^n}=\\ =e\left(\frac{n}{2}\right)^n\cdot \frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}{e}<e\left(\frac{n}{2}\right)^n$$