¿Cuál es el límite de la secuencia $\lim\limits_{n \to\infty} \frac{n!}{n^n}$ ?

Question

$$\lim_{n \to\infty} \frac{n!}{n^n}$$

Tengo una pregunta: ¿es válido utilizar la fórmula de Stirling para demostrar la convergencia de la secuencia?

Answer 1

Aquí hay dos cuestiones distintas. La primera, la del título, es cuál es realmente el límite. Esto es fácil de ver escribiendo la expresión como un producto de $n$ factores positivos: $$\frac{n!}{n^n}=\left(\frac{1}{n}\right)\left(\frac{2}{n}\right)\left(\frac{3}{n}\right)\cdots\left(\frac{n}{n}\right).$$ Cada uno de los factores $k/n$ , $k=1,2,3,\dots,n$ es menor o igual que $1$ . Por lo tanto, el producto es $$\le\left(\frac{1}{n}\right)\cdot1\cdot1\cdots1=1/n.$$ Pero $1/n$ converge a $0$ como $n\to\infty$ por lo que por el teorema de Squeeze también lo hace la expresión original.

La segunda cuestión es si está permitido o no usar la fórmula de Stirling para derivar el límite, lo que creo que cubre el comentario de Arturo: no hay circularidad aparente, pero en el contexto del trabajo de clase la respuesta depende de si has aprendido formalmente la fórmula y se te permite usarla como algo dado.

Answer 2

Primero mostraremos que la secuencia $x_n = \frac{n!}{n^n}$ converge. Para ello, demostraremos que la secuencia es monótona y acotada.

Lema 1: $x_n$ es monótonamente decreciente.

Prueba . Podemos ver esto con un poco de álgebra simple:

$$x_{n+1} = \frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}} = \frac{n+1}{n+1}\frac{n!}{(n+1)^n} \frac{n^n}{n^n} = \frac{n!}{n^n} \frac{n^n}{(n+1)^n} = x_n \big(\frac{n}{n+1}\big)^n.$$

Desde $\big(\frac{n}{n+1}\big)^n < 1$ entonces $x_{n+1} < x_n$ .

Lema 2: $x_n$ está acotado.

Prueba . Es fácil ver que $n! \leq n^n$ y $n! \geq 0$ . Obtenemos los límites $0 \leq x_n \leq 1$ demostrando que $x_n$ está acotado.

Juntos, estos dos lemas junto con el teorema de convergencia monótona demuestran que la secuencia converge.

Teorema : $x_n \to 0$ como $n \to \infty$ .

Prueba . Desde $x_n$ converge, entonces dejemos que $s = \lim_{n \to \infty} x_n$ , donde $s \in \mathbb{R}$ . Recordemos la relación del lema 1:

$$x_{n+1} = x_n \big(\frac{n}{n+1}\big)^n = \frac{x_n}{(1+ \frac{1}{n})^n}.$$

Desde $x_n \to s$ entonces también lo hace $x_{n+1}$ . Además, un resultado estándar es el límite $(1+ \frac{1}{n})^n \to e$ . Con estos resultados, tenemos $\frac{x_n}{(1+ \frac{1}{n})^n} \to \frac{s}{e}$ y en consecuencia

$$s = \frac{s}{e} \implies s(1 - e^{-1}) = 0$$

Desde $1 \neq e^{-1}$ entonces esta afirmación se cumple si y sólo si $s = 0$ y así concluye la prueba.

Answer 3

Puede demostrar que $$ n! < \left( \frac{n+1}{2} \right)^n. $$ Ahora observe que $$ 0 \leq \lim_{n\to\infty} \frac{n!}{n^n} <\lim_{n\to\infty} \frac{\left(\frac{n+1}{2}\right)^n }{n^n} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{2^n}\cdot\frac{(n+1)^n}{n^n}. $$ Sabemos que $1/2^n\to 0$ como $n\to\infty$ . Si sabes que $[(n+1)/n]^n\to e$ como $n\to\infty$ Entonces ya está... ¡el límite es cero!

Definitivamente no es tan agradable como la solución de anon, pero es un enfoque diferente, sin embargo.

Answer 4

Dejemos que $u_n=\frac{n!}{n^n}$ entonces $u_{n+1}=\frac{(n+1)!}{(n+1)^{(n+1)}}$ . Ahora, $$L=\lim_{n\to \infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}\Rightarrow \lim_{n\to \infty}\frac{(n+1)!}{(n+1)^{(n+1)}}\times \frac{n^n}{n!}\\ =\lim_{n\to \infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)^n=e^{-1}<1.$$ Por la prueba de la relación para las secuencias el límite $\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{n!}{n^n}=0.$

Answer 5

No , ambos son iguales en cuanto a su orden de crecimiento, obviamente en cuanto a valores $n^n$ es mayor.

$n!=n(n-1)(n-2)(n-3).........1.$

Aquí , $n$ se multiplica por $n$ veces

Así que, $n!= n^n -$ algo ,

aquí definitivamente algo es menos que $n^n$ .

Y en una función generalmente se considera la función de mayor orden entre otras, por lo que $n! = n^n$ en términos de orden de crecimiento. Es simplemente como $f(n)= n^2+n+2 , g(n)= n^2 + 2$ , aquí ambos son qudartic así como tienen $n^2$ como función de orden superior, por lo que son iguales en crecimiento.