Calcular la Integral exacta a 0.03.

Question

Integral: $$I=\int_{0.3}^{2.0}\frac{e^{-x}\text{dx}}{(2+x-x^2)^{1/4}}$ $

La función no está definida para $x=2$, que se encuentra en el intervalo de $[0.3,2.0]$. Todas las funciones previamente he aproximado eran continuas sobre el intervalo entero $[a,b]$ donde $a$ y $b$ eran los límites de la integral. ¿Qué debe uno hacer aproximar integrales con discontinuidades?

Answer 1

La idea es tener en cuenta que la singularidad en $2$ es un integrable singularidad, por lo que nos podemos encontrar en un obligado para $\int_{2-\delta}^2 f(x) dx$ que va a cero, como se $\delta$ va a cero. En este caso,$(2+x-x^2)=-(x^2-x-2)=-(x-2)(x+1)$, por lo que su magnitud es mayor que, digamos, $2|x-2|$ $[2-\delta,2)$ una vez $\delta<1$. Del mismo modo la magnitud de $e^{-x}$ es menos que, digamos, $e^{-1}$ bajo circunstancias similares. Por lo tanto

$$\int_{2-\delta}^2 \frac{e^{-x}}{(2+x-x^2)^{1/4}} dx \leq \int_{2-\delta}^2 \frac{e^{-1}}{2^{1/4} |x-2|^{1/4}} dx$$

siempre $\delta<1$. Pero esta integral puede ser explícitamente calculado; es un múltiplo de a $\delta^{3/4}$. Tenga en cuenta que para una función continua en a $[2-\delta,2]$, se tendría un múltiplo de $\delta^1$, por lo que la singularidad es la ralentización de la caries como $\delta$ va a cero. Pero no la destruye por completo, lo cual es crucial.

Ahora usted puede calcular el $\int_{0.3}^2 f(x) dx$ $\int_{0.3}^{2-\delta} f(x) dx + \int_{2-\delta}^2 f(x) dx$ donde usted elija $\delta$ tan pequeño que el segundo término es menor que $0.015$ (de modo que en su solución se te cae todo) y, a continuación, calcular el primer término dentro de una precisión de $0.015$ utilizando el método que te gusta.

Hay maneras más eficientes de hacer esto. Por ejemplo, usted podría optar $\delta$ tan pequeño que el obligado por el segundo término es simplemente menos de $0.03$, y luego aproximar el segundo término por la mitad de su límite. Puesto que el integrando es también positivo, esto dará lugar a un error de en la mayoría de las $0.015$. Usted llegará a utilizar un poco más grande el valor de $\delta$ que algo va a acelerar la convergencia de la integración en $[0.3,2-\delta]$. Usted puede también elegir la partición del error de otra forma (dedicando más de que el error de una sola pieza que la otra).