Computación orientada a grupos de Bordism del colector $X$ $n\leq 4$

Question

Estoy siguiendo el libro de Davis y Kirk "notas de la Conferencia en Topología Algebraica", donde, en las páginas de $246-247$ no es un cálculo de los grupos mencionados a través de la Atiyah - Hirzebruch Espectral de la Secuencia.

Usando el bien conocido el hecho de que $\Omega^{SO}_k(*)\cong \mathbb{Z}$$k= 0,4$, y es trivial para $k=1,2,3$ junto con la división injevtiveness del borde homomorphism es fácil llegar a la conclusión de que para $n\leq 3$, $\Omega^{SO}_n(X)\cong H_n(X)$.

Estoy interesado en el cálculo de la $4$th Grupo, ya que en este grado hay una posible no trivial problema con la extensión. En el establo de la página, en la posición $(0,4)$ hay $\mathbb{Z}$, en la posición $(4,0)$ hay $H_4(X)$. Si la posición de estos dos grupos se intercambiaron, por el projectivity de $\mathbb{Z}$ (como un Grupo abelian) el problema con la extensión sería trivial. Pero en este caso, ya que no es inyectiva, no sé cómo lidiar con la Breve secuencia exacta.

De acuerdo a la referencia debería ser trivial problema con la extensión, es decir,$\Omega^{SO}(X)_4\cong H_4(X)\oplus \mathbb{Z}$, pero no dan ninguna razón para ello.

Alguien puede proporcionar algunas de las explicaciones para esto?

Answer 1

Es verdad que tenemos una secuencia exacta $0 \to \Bbb Z \to \Omega^{SO}_4(X) \to H_4(X) \to 0$. Aquí hay un par de maneras en que podemos mostrar esta secuencia se divide.

1) Identificar el primer mapa como $\Omega^{SO}_4(pt) \to \Omega_4^{SO}(X)$ para algunos la elección del punto de base. Entonces es evidente que existe una división dada por retracción a ese punto de base. Sospecho que esta es la solución que se pretende, ya que se nota por encima de su resultado que $\Omega_n(pt) \to \Omega_n(X)$ es una división de la inyección para cualquier $X$.

2) el mapa de La derecha es el mapa que se olvida de que el colector de la definición. Usted puede obtener una inversa por escoger una opción de colector de representación de la firma 0. (Este es sorta trampa, ya sólo quiero pensar en que si yo ya sabía lo que el primer mapa fue.)