Subconjunto denso incontable cuyo complemento es también incontable y denso

Question

Posible duplicado:
Subconjuntos densos localmente no numerables de R

Esto puede ser un resultado estándar... No lo sé... de todos modos...

¿Existe un subconjunto denso e incontable de $\mathbb{R}$ cuyo complemento también es incontable y denso?

Answer 1

Es curioso, ¡yo me pregunté lo mismo en un momento dado! Esto debería funcionar:

$$A:=((-\infty,0]\cap\mathbb{Q})\cup ((0,+\infty)\cap(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})),$$ $$B:=((-\infty,0]\cap(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}))\cup ((0,+\infty)\cap\mathbb{Q})$$ Ambos son incontables y densos, y forman una partición de $\mathbb{R}$ .

Answer 2

Tome cualquier conjunto incontable $A_0$ con medida $0$ Por ejemplo, el conjunto de Cantor. Sea $$A = \bigcup_{q \in \mathbb{Q}} (A_0 + q) = \{a + q : a \in A_0, q \in \mathbb{Q}\}.$$ Entonces $A$ es incontable, denso y todavía tiene medida $0$ ya que es la unión de un número contable de traducciones de $A_0$ . Dado que el complemento de una medida $0$ es siempre incontable y denso, este conjunto $A$ encaja en el proyecto de ley.

Answer 3

Probablemente no sea el mejor enfoque, pero también puedes probar esto: Deja que $B$ sea una base de $\mathbb R$ en $\mathbb Q$ . Escriba $B=B_1 \cup B_2$ con $B_1 \cap B_2 =\emptyset$ y $B_1, B_2$ de la misma cardinalidad.

Entonces $V= span_{\mathbb Q} B_1$ lo hará. Es incontable y denso ( $B_1$ en incontable, por lo que contiene dos elementos con ración irracional) y $\mathbb R \backslash V$ contiene $W= span_{\mathbb Q} B_2$ .

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Añadido un segundo ejemplo

He aquí otro ejemplo:

$$A:= \{ x=m.x_1x_2...x_n...| 0.x_2x_4x_6... {\rm \, is \, periodic \,} \}\,.$$

Más exactamente, $A$ consiste en todos aquellos números reales para los cuales, los dígitos después de $.$ de orden par forman una secuencia periódica....