¿OK, así que me doy cuenta de esto puede ser una pregunta estúpida pero una respuesta me puede ayudar sin duda en mi clase de teoría de la matriz, necesito saber si en general el rango de una submatriz es menor o igual al rango de la matriz más grande? ¿Es cierto en general?
Respuestas
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Chris Ballance
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Supongamos que la matriz es $n\times m$. Deje $\alpha\subseteq\{1,2,\ldots,n\}$$\beta\subseteq\{1,2,\ldots,n\}$. Dado que el rango de una matriz es igual tanto en el rango fila y su columna de rango,
- el rango de $A[\alpha|\beta]$ es menor o igual que el rango de $A\left[\alpha\right|\left.\{1,2,\ldots,m\}\right]$, debido a que la columna el espacio de la antigua figura en la columna de espacio de este último;
- el rango de $A\left[\alpha\right|\left.\{1,2,\ldots,m\}\right]$ es menor o igual que el rango de $A$, debido a que el espacio fila de la primera está contenida en el espacio fila de la segunda.
En consecuencia, El rango de $A[\alpha|\beta]$ es siempre menor o igual que el rango de $A$.
Tomando submatriz puede ser expresado mediante la multiplicación de la matriz. Suponga que la matriz de $B$ es una submatriz de a $A$: $$ B_{i,j} = A_{r_i, c_j}. $$ Considere las matrices de $P$ $Q$ se define como $$ P_{i, k} = \begin{cases} 1, &k = r_i\\ 0, &k \neq r_i \end{casos}, \qquad Q_{j, m} = \begin{cases} 1, &m = c_j\\ 0, &m \neq c_j \end{casos}. $$ El producto $PAQ^\top$ es exactamente $B$: $$ (PAQ^\la parte superior)_{i,j} = \sum_{k,m} P_{i,k} A_{k,m} Q_{j, m} = A_{r_i, c_j} = B_{i,j} $$ desde $$ \operatorname{rango} XY \leq \min(\operatorname{rango} X, \operatorname{rango} Y), $$ tenemos $$ \operatorname{rango} B \leq \min(\operatorname{rango} P, \operatorname{rango} Q, \operatorname{rango}) \leq \operatorname{rango} $$
mlc
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El rango de una submatriz nunca es más grande que la fila de la matriz, pero puede ser igual.
Aquí están dos ejemplos simples.
Si una matriz rectangular de $m \times n$ tiene completo rango $m$, su rango es igual a la fila de una submatriz de $m \times m$.
Si una matriz cuadrada y $m \times m$ tiene fila no completa, su rango es igual al rango de una submatriz.
