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¿Hay infinidad de números naturalesn tales queμ(n)=μ(n+1)=±1?

Hace un tiempo, me contestó esta pregunta aquí en StackExchange que le pregunta si dado cualquier entero k, si existe una infinidad de números naturales n tal que μ(n+1)=μ(n+2)=μ(n+3)==μ(n+k)

Este es de hecho el caso, y puede ser mostrado usando el Teorema del Resto Chino, como en mi respuesta a la pregunta vinculada. Nos encontramos con una infinidad de n de manera tal que el valor común de μ evaluado en estos puntos se 0.

Si k4, entonces uno de los valores de n+1,n+2,n+3,n+4 es un múltiplo de a 4, y por lo tanto el valor común debe, de hecho, ser 0. Para n<4, este argumento no funciona, y no podemos descartar la posibilidad de que μ(n+1)==μ(n+k)=±1

Mi pregunta se refiere al caso de k=2. Hay una infinidad de números naturales n de manera tal que sea μ(n)=μ(n+1)=1 o μ(n)=μ(n+1)=1?

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rtybase Puntos 430

Esta no es una respuesta, sólo una perspectiva diferente del problema.

Echemos un vistazo a la siguiente ecuación Diophantine: 3x=2y+1 Se tiene una solución de (1,1), y como resultado infinitamente muchos x=1+2t, y=1+3t, tN.

Estas dos progresiones aritméticas va a generar un número infinito de números primos (https://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet%27s_theorem_on_arithmetic_progressions). La pregunta es, se generan infinitamente pares de primos de la misma t?

Y, de Green-Tao extensión (https://en.wikipedia.org/wiki/Green%E2%80%93Tao_theorem#Extensions_and_generalizations) dice que k+2t, k+3t será al mismo tiempo primos de un número infinito de kt, pero necesitamos k=1.

Obviamente, cualquier primer par (p1,p2) (por ejemplo,(5,7)), solución de esta ecuación, se cumple: 1=μ(2p2)=μ(3p1)=μ(2p2+1)

Algunos materiales relacionados:

http://arxiv.org/pdf/1310.8140.pdf - los Primos de Soluciones De Lineal de Ecuaciones Diophantine

http://arxiv.org/pdf/math/0404188v6.pdf - Los números Primos Contienen Progresiones Aritméticas Arbitrariamente Largas

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