¿Hay infinidad de números naturales$n$ tales que$\mu(n)=\mu(n+1)=\pm 1$?

Question

Hace un tiempo, me contestó esta pregunta aquí en StackExchange que le pregunta si dado cualquier entero $k$, si existe una infinidad de números naturales $n$ tal que $$\mu(n+1)=\mu(n+2)=\mu(n+3)=\cdots=\mu(n+k)$$

Este es de hecho el caso, y puede ser mostrado usando el Teorema del Resto Chino, como en mi respuesta a la pregunta vinculada. Nos encontramos con una infinidad de $n$ de manera tal que el valor común de $\mu$ evaluado en estos puntos se $0$.

Si $k \geq 4$, entonces uno de los valores de $n+1, n+2, n+3, n+4$ es un múltiplo de a $4$, y por lo tanto el valor común debe, de hecho, ser $0$. Para $n<4$, este argumento no funciona, y no podemos descartar la posibilidad de que $$\mu(n+1)=\cdots=\mu(n+k)=\pm 1$$

Mi pregunta se refiere al caso de $k=2$. Hay una infinidad de números naturales $n$ de manera tal que sea $$\mu(n) = \mu(n+1) = 1$$ o $$\mu(n) = \mu(n+1) = -1?$$

Answer 1

Esta no es una respuesta, sólo una perspectiva diferente del problema.

Echemos un vistazo a la siguiente ecuación Diophantine: $$3\cdot x=2\cdot y + 1$$ Se tiene una solución de $(1,1)$, y como resultado infinitamente muchos $x=1+2\cdot t$, $y=1+3\cdot t$, $t \in \mathbb{N}$.

Estas dos progresiones aritméticas va a generar un número infinito de números primos (https://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet%27s_theorem_on_arithmetic_progressions). La pregunta es, se generan infinitamente pares de primos de la misma $t$?

Y, de Green-Tao extensión (https://en.wikipedia.org/wiki/Green%E2%80%93Tao_theorem#Extensions_and_generalizations) dice que $k+2\cdot t$, $k+3\cdot t$ será al mismo tiempo primos de un número infinito de $k$$t$, pero necesitamos $k=1$.

Obviamente, cualquier primer par $(p_1, p_2)$ (por ejemplo,$(5, 7)$), solución de esta ecuación, se cumple: $$1=\mu(2\cdot p_2)=\mu(3\cdot p_1)=\mu(2\cdot p_2+1)$$

Algunos materiales relacionados:

http://arxiv.org/pdf/1310.8140.pdf - los Primos de Soluciones De Lineal de Ecuaciones Diophantine

http://arxiv.org/pdf/math/0404188v6.pdf - Los números Primos Contienen Progresiones Aritméticas Arbitrariamente Largas