En la definición de un grupo, ¿es redundante indicar el conjunto junto con la función sobre él?

Question

En la definición de un grupo (u otras estructuras similares) $$(G,*)$$ como el par de un conjunto $G$ junto con la operación binaria $$*:G\times G\rightarrow G$$

¿el primer componente del par no es básicamente información redundante? ¿Se hace esto por razones pedagógicas? O tiene alguna ventaja lógica, como por ejemplo extraer el conjunto del grupo sacando la primera componente. No sé cómo robar formalmente el codominio de una función, aunque creo que también se trata de algunos pares ordenados.

Answer 1

Es conveniente decir, por ejemplo:

" $H$ es un subgrupo de $G$ si $H$ es un subconjunto no vacío de $G$ tal que $(H,\ast)$ es un grupo.

Creo que omitir $G$ ¡completamente en todos los casos es ocultar demasiada información!

Answer 2

Para ser absolutamente preciso, un grupo es realmente un par de órdenes $(G, \cdot)$ . (Si trabaja en la teoría de modelos, puede que incluso quiera $(G,\cdot, e)$ para indicar la constante distinguida).

La cuestión es que se quiere definir con precisión lo que es un grupo. Pero te das cuenta de que decir que un grupo es sólo un conjunto $G$ o el grupo es sólo una función $\cdot : G \times G \rightarrow G$ no es correcto. Los grupos no son funciones. De hecho, decir que un grupo es un conjunto $G$ junto con una función $\cdot : G \times G \rightarrow G$ ni siquiera es correcto. (Esto es algo que se llama estructura en el lenguaje de los grupos.) Los grupos incluso tienen que satisfacer ciertos axiomas. Así que un grupo es realmente un par $(G, \cdot)$ que satisface todos los axiomas de grupo.

Lo anterior es una discusión sobre lo que es realmente un grupo. Sin embargo, hay una distinción entre la definición de un grupo y la cantidad de información que necesitas para que la mayoría de la gente te entienda en su contexto. Si usted dijera " $\cdot : G \times G \rightarrow G$ es un grupo", estoy seguro de que la mayoría de la gente entendería que esto significa que $\cdot$ es la multiplicación en un conjunto $G$ que satisfacen todas las propiedades del grupo.

Answer 3

Es redundante: Por definición, una función es el dato de un dominio, un codominio y una regla que asigna a cada elemento del dominio exactamente un elemento del codominio. Como tal, ya tiene el conjunto de interés codificado en su función $*$ .

No es redundante: Pues mira las otras respuestas.

Sin embargo, en todos los usos prácticos, un grupo es un set primero, en el que hay un mapa $*$ satisfaciendo algunos axiomas.

Answer 4

No es redundante. $\ast$ no es una función arbitraria de un conjunto a otro conjunto; es específicamente una función de $G \times G$ a $G$ para un conjunto fijo $G$ y para especificarlo hay que nombrar $G$ de todos modos.