¿Cómo interpretar la clase Euler?

Question

Aunque (a duras penas) comprendo la definición formal de la clase Euler, la intuyo muy poco. Entiendo que la clase de Euler de $E\to X$ es cero si y sólo si hay una sección, pero ¿qué significa que la clase Euler sea distinta de cero?

Por ejemplo, cuando $X$ es un manifold de 3 dimensiones y $E\to X$ un haz de planos con clase de Euler no trivial, me gustaría tener una interpretación geométrica/topológica de la clase de Euler. En particular, me gustaría tener una interpretación de $e(S)$ , donde $S$ es un elemento de $H_2(X, \mathbb Z)$ .

Answer 1

Esta es una perspectiva diferente a la de Mateo: Supongamos que nos dan una sección $s:X\to E$ de nuestro rango $r$ haz de vectores $E\to X$ tal que $s(X)$ y la sección cero se cruzan transversalmente. Esta intersección $I$ es una dimensión $\dim(X)-r$ submanifold de $E$ que naturalmente se puede considerar como un submanifold de $X$ por inclusión en la sección cero. La clase Euler es entonces $PD[I]\in H^r(X;\mathbb{Z})$ , donde $PD$ es la dualidad de Poincare en $X$ .

Para un campo plano en un $3$ -la clase de Euler vive en $H^2(X;\mathbb{Z})$ no $H_2(X;\mathbb{Z})$ . (Estos son no isomorfos si la primera homología tiene torsión.) Es el dual de Poincare de un elemento de $H_1(X;\mathbb{Z})$ . Por ejemplo, supongamos que $X=\Sigma_g \times S^1$ y que $E$ es $(T\Sigma_g)\times S^1$ . Entonces la clase Euler es $(2-2g)PD[S^1]$ .

Answer 2

Bueno, la clase de Euler existe como una obstrucción, como con la mayoría de estas clases de cohomología. Mide "lo retorcido" que está el haz vectorial, lo que se detecta al no poder elegir coherentemente "coordenadas polares" en trivializaciones del haz vectorial.

En el caso de que $E = \mathbb{R}^2 \times B$ es un haz vectorial trivial con un mapa de proyección $\pi: E \rightarrow B$ entonces podemos tomar la forma $\phi$ para ser el pullback de la forma $\frac{1}{2\pi} d \theta$ bajo la proyección $$E - E_0 = (\mathbb{R}^2 - 0) \times B \rightarrow \mathbb{R}^2 - 0 $$ donde $d\theta$ es la forma angular estándar en $\mathbb{R}^2 - 0$ . Entonces tenemos que la clase Euler $\chi$ se define por $$d \phi = - \pi^* \chi$$ una fórmula que es generalmente verdadera, si se piensa en definir coordenadas polares locales y tener $\phi$ midiendo cómo fallan en las intersecciones triples.

En este caso, $\phi$ está cerrado y por lo tanto $e$ es 0. Esto se debe a que podemos elegir coordenadas angulares globales en el haz de vectores, que es lo que mide el fracaso de esta cosa en general.

Para una discusión exhaustiva de la clase Euler desde esta perspectiva (y una oportunidad de leer un gran libro que puede darte intuición geométrica para estas cosas algebro-topológicas) revisa Formas diferenciales en topología algebraica por Bott & Tu.

Answer 3

No es cierto que si la clase de Euler desaparece, entonces hay una sección que no desaparece en ninguna parte (aunque lo contrario es cierto).

Por ejemplo, existe un haz vectorial tridimensional orientado $E \to S^4$ que no admite ninguna sección de fuga en ninguna parte, como se señala en este debate . De hecho, este haz vectorial puede ser clasificado por el elemento no trivial de $\pi_3(SO(3)) = \mathbb{Z}$ por la "construcción de agarre". La clase Euler es cero porque la cohomología de $S^4$ desaparece en dimensión tres, pero por otro lado, si el haz vectorial admitiera una sección que no desaparece en ninguna parte, entonces sería trivial. (Prueba: entonces el haz vectorial se descompondría $E = F \oplus \mathbb{1}$ donde $F$ es bidimensional y está clasificado por un elemento de $\pi_3(SO(2)) = \ast$ Así que $F$ es trivial y también lo es $E$ .)

La clase Euler es el primer obstáculo para la existencia de una sección que no desaparece en ninguna parte, pero no es el único.