Encontrar el valor real de un bien para el cual existe al menos un número complejo de satisfacciones $|z+4i|=\sqrt{a^2-12a+28}$$|z-4\sqrt{3}|\lt a$.
Mis soluciones:-
- Solución gráfica:-
$|z+4i|=\sqrt{a^2-12a+28}$ representa un círculo con el centro en $A\equiv(0,-4)$ y radio de $r_1=\sqrt{a^2-12a+28}$ y de manera similar, $|z-4\sqrt{3}|\lt a$ representa a todos los puntos dentro del círculo con centro en $B\equiv(4\sqrt{3},0)$ y radio de $r_2=a$. Así, la distancia entre los centros de el círculo es $\sqrt{(4\sqrt{3})^2+(4^2)}=8$
Consideremos ahora los gráficos de $\sqrt{a^2-12a+28}$$a$. La gráfica de $\sqrt{a^2-12a+28}$ que es una hipérbola con centro en $(6,0)$ y vértices ser $(6\pm 2\sqrt2,0)$
Es claro de la trama que $a\in (0,6-2\sqrt2]\cup [6+2\sqrt2,\infty)$ $\sqrt{a^2-12a+28}\ge0$ $a\gt 0$
Ahora, vamos a hacer algo de caso de estudio.
Caso 1:- Al $a \ge 6+2\sqrt2$
En este caso, el radio del círculo representado por $|z-4\sqrt3|=a$ es mayor que la distancia entre los centros de los círculos, yo.e$r_2\gt AB$$r_2\gt 8$. Así, el círculo de $|z-4\sqrt3|=a$ encierra el círculo de $|z+4i|=\sqrt{a^2-12a+28}$(o el punto de $-4i$, que es el caso cuando se $a=6+2\sqrt2$) o totalmente encierra una parte de ella y en ambos casos nos encontramos con que tenemos de obtener un número común a ambas regiones. Por eso, $a\in(6+2\sqrt2,\infty)$
Caso 2:- $0\le a\le 6-2\sqrt2$
En este caso vemos que, debido a la delimitación de $a$, podemos ver que $(r_1+r_2)\lt 8$, por lo que no hay intersección de las quería regiones, por lo que no hay solución en esta región.
Así el intervalo de $a$ $\boxed{a \in [6+2\sqrt2, \infty)}$
- Algebraicas Solución(o como quieras llamarlo):-
Vamos a considerar todas las posibles círculos que se pueden extraer de la de los círculos, que son como se indica en la figura:-
De lo anterior dibuja círculos podemos considerar los siguientes casos.
Caso 1:- a partir De la Figura-3 (no he numerado es así que consideramos que en la de izquierda a derecha de forma) se puede obtener la siguiente condición $$AB\lt r_1+r_2 \implies 8 \lt \sqrt{a^2-12a+28} + a \implies a\gt 9$$ Este caso se aborda la condición limitante tanto de los círculos de tocar.
Caso 2:- Ahora para no dejar que la Figura-5 tendrá lugar tenemos que considerar el caso de $$AB\gt r_1-r_2 \implies 8 \gt \sqrt{a^2-12a+28} -a \implies a\gt -\frac{9}{7}$$
Ahora, no sé qué concluir de esto, así que por favor no me digas que
Caso 3:- Considerar la Figura 4(no sé por qué me llamó la última figura, ya que la OMI representa el mismo caso que en la Figura 4), el caso es $$AB\lt r_2-r_1 \implies 8\lt a-\sqrt{a^2-12a+28} \implies a\gt 9$$
Mi trato con la pregunta:-
$a\gt 9$, $a\gt 9$ en todas partes, no de un solo $a\ge 6+2\sqrt2$ a ver.(Es una broma)
Así como usted puede ver que a partir de la solución Algebraica conseguí $a\gt 9$ y a partir de la Gráfica de enfoque a la pregunta que me consiga $a\ge 6+2\sqrt2$. Y el libro que estoy resolviendo también da la respuesta intervalo como $a\in (9,\infty)$. Entonces, ¿qué está mal con las soluciones y señalar los errores. Como siempre la más elegante de las soluciones son bienvenidos.
En mi opinión, la respuesta debe ser $a\in [6+2\sqrt2, \infty)$, que es evidente en el gráfico que figura a continuación.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
La respuesta debería ser $a\ge 6+2\sqrt 2$.
($a\gt 9$ no es correcto ya que, por $a=9$, $z=-3i$ satisface las condiciones.)
En su Algebraicas Solución, que parece que tiene algunos errores.
Caso 1:- $$8 \lt \sqrt{a^2-12a+28} + a \implies a\gt 9$$ Caso 2:- $$8 \gt \sqrt{a^2-12a+28} -a \implies a\gt -\frac{9}{7}$$ Caso 3:- $$8\lt a-\sqrt{a^2-12a+28} \implies a\gt 9$$
Estos deben ser incorrecta. En $0\lt a\le 6-2\sqrt 2$ o $a\ge 6+2\sqrt 2$, tengo las siguientes : $$8 \lt \sqrt{a^2-12a+28} + a \iff a\ge 6+2\sqrt 2$$ (Para resolver de a $8-a\lt \sqrt{a^2-12a+28}$, separarlo en dos casos : Si $8-a\lt 0$, entonces la desigualdad se conserva(LHS es negativo, el lado derecho es no negativo). Si $8-a\ge 0$, dado que ambos lados son no negativos, el cuadrado da $a\gt 9$. No es $a$ tal que $a\le 8$$a\gt 9$. Por lo tanto, $a\gt 8$. Considerando $0\lt a\le 6-2\sqrt 2$ o $a\ge 6+2\sqrt 2$, la solución es $a\ge 6+2\sqrt 2$.)
$$8 \gt \sqrt{a^2-12a+28} -a \iff 0\lt a\le 6-2\sqrt 2\quad\text{or}\quad a\ge 6+2\sqrt 2$$ $$8\lt a-\sqrt{a^2-12a+28}\iff 6+2\sqrt 2\le a\lt 9$$
En la siguiente, voy a escribir una solución en la forma similar como su Solución Algebraica.
Consideramos que los dos círculos $$C_1 : x^2+(y+4)^2=a^2-12a+28\qquad\text{and}\qquad C_2 : (x-4\sqrt 3)^2+y^2=a^2$$ donde $0\lt a\le 6-2\sqrt 2$ o $a\ge 6+2\sqrt 2$.
La distancia entre los centros es $8$.
Caso 1 : Los dos cirlces no tienen puntos de intersección, y ningún círculo está dentro de la otra : $8\gt \sqrt{a^2-12a+28}+a\iff 0\lt a\le 6-2\sqrt 2$. Este caso tiene que ser eliminado.
Caso 2 : Los dos círculos tienen el único punto de intersección, y ningún círculo está dentro de la otra : $8=\sqrt{a^2-12a+28}+a$. No hay tal $a$.
Caso 3 : Los dos círculos tienen dos puntos de intersección : $|\sqrt{a^2-12a+28}-a|\lt 8\lt \sqrt{a^2-12a+28}+a\iff a\gt 9$. Este caso es suficiente.
Caso 4 : Los dos círculos tienen el único punto de intersección, y un círculo dentro del otro : $8=|\sqrt{a^2-12a+28}-a|$.
Caso 4-1 : El caso de al $(4\sqrt 3,0)$ está dentro de $C_1$. No hay tal $a$.
Caso 4-2 : El caso al $(0,-4)$ está dentro de $C_2$ : $a=9$. Este caso es suficiente.
Caso 5 : Los dos círculos no tienen puntos de intersección, y un círculo dentro del otro : $8\lt |\sqrt{a^2-12a+28}-a|$
Caso 5-1 : El caso al $(4\sqrt 3,0)$ está dentro de $C_1$ : no Hay tal $a$.
Caso 5-2 : El caso al $(0,-4)$ está dentro de $C_2$ : $8\lt a\lt 9$. Este caso es suficiente.
Por lo tanto, la respuesta es $a\ge 6+2\sqrt 2$.
