Límite

Question

Puede alguien por favor me explique cómo resolver esto? Según mi libro el resultado debe ser $e^4$, sin embargo, no puedo entender la propuesta de solución. Por favor alguien puede tomar el tiempo para caminar a través de mí?

$$f : \mathcal R \mapsto \mathbb R, f(x) = (x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5)$$ $$\lim_{x\to \infty} \left(\frac{f(x+1)}{f(x)}\right)^x$$

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Edit: solución Parcial.

Me puede llegar hasta el siguiente punto. A partir de aquí, sin embargo no sé cómo voy a seguir con el fin de obtener $e^4$. A mí me parece que el resultado es $1^\infty = 1$ en este punto (pero ese no es el caso según mi libro):

$$\lim_{x\to \infty} \left(\frac{x-1}{x-5}\right)^x$$

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Edit 2: Solución dada por mi libro.

$$\lim_{x\to \infty} \left(1+\frac{4}{x-5}\right)^x$$ $$ = \lim_{x\to \infty} \left(\left(1+\frac{4}{x-5}\right)^\frac{x - 5}{4}\right)^{\frac{4}{x - 5}x}$$ $$ = e^{\lim_{x\to \infty} \frac{4x}{x - 5}} = e^4$$

Answer 1

Ustedes están aquí, en un "archetypic" la experiencia que tienen que hacer frente cuando se va en matemáticas. Todo comienza con la búsqueda de $$\lim_{n\to\infty}\Bigl( 1+{1\over n} \Bigr)^n$$ (usted puede escribir $x$ en lugar de $n$). Si el interior de la $n$ $\infty$ en primer lugar, el límite es de $1$, y si el $n$ en el exponente va a $\infty$ en primer lugar, el límite es de $\infty$. Como cuestión de hecho (y esto tiene que ser demostrado de la manera difícil) el verdadero límite es un número finito, es decir, el número de Euler $e\doteq 2.718$. Aceptando esto, es fácil demostrar que para cualquier fija $y>0$ uno tiene $$\lim_{x\to\infty}\Bigl( 1+{y\over x} \Bigr)^x=e^y\ .$$ El $x-5$ en su denominador no causa ningún problema: Simplemente adaptar el exponente en consecuencia, y el factor adicional con constante exponente $5$ convergerán a $1$.

Answer 2

Sugerencia: ¿Qué obtienes al escribir la fracción$\frac{f(x+1)}{f(x)}$ simplemente como una función de$x$ al sustituir en$x+1$ en el numerador?

Se agregó en respuesta a la edición:$\frac{x-1}{x-5}=1+\frac{4}{x-5}$, por lo que está buscando$$\lim_{x\to \infty} \left(1+\frac{4}{x-5}\right)^x.$$ Have you seen $$\lim_{n\to \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e?$ $