Mostrar que $\sigma\circ\phi: G_1 \to G_3$ es un isomorfismo.

Question

Sean $G_1, G_2$ y $G_3$ grupos. Sean $\phi: G_1 \to G_2$ y $\sigma: G_2 \to G_3$ isomorfismos de grupos. Demuestra que $$\sigma\circ\phi: G_1 \to G_3$$ es un isomorfismo.

Entiendo que para demostrar que la composición es un homomorfismo (preservación de la operación) y una biyección. Necesito ayuda con la notación y cómo mostrar la preservación de la operación, sobre y uno a uno.

Preservación de la operación: $\sigma\circ\phi(ab)=\sigma(\phi(ab))=\sigma(\phi(a)\phi(b))=(\sigma\circ\phi(a))(\sigma\circ\phi(b))$

¿Voy por buen camino?

Answer 1

Sí, ahora solo necesitas que la composición de biyecciones sea una biyección.

Tal vez demostrando que $\phi^{-1}\circ \sigma^{-1}: G_3 \to G_1$ es la inversa de $\sigma \circ \phi$ (lo cual es válido para cualquier biyección $\sigma$ y $\phi, no necesariamente entre estructuras algebraicas). Simplemente compone esto con $\sigma \circ \phi$ (a la izquierda y a la derecha) para verificar que obtienes mapas identidad en ambos casos.

Answer 2

Eso es correcto. Todo lo que queda es demostrar que la composición es una función biyectiva.

Personalmente, basta con decir "la composición de dos funciones biyectivas es una función biyectiva". Sin embargo, no es difícil mostrarlo directamente, ya sea demostrando subjetividad e infectividad o mostrando que la inversa existe.