Mostrando que $X\sim E[X\mid\mathcal{G}]$ implica casi con toda seguridad $X=E[X\mid\mathcal{G}]$

Question

Supongamos que$(\Omega,\mathcal F,P)$ es un espacio de probabilidad y que$\mathcal G$ es un sub-sigma-álgebra de$\mathcal F$. Si$X$ es una variable aleatoria integrable, no negativa con la misma distribución que$E[X\mid \mathcal G]$, ¿cómo se muestra que$X=E[X\mid \mathcal G]$ as?

Answer 1

Deje $u:[0,\infty)\to[0,\infty)$ denotar la función definida por $u(x)=x/\sqrt{1+x^2}$. A continuación, $u$ es suave, estrictamente cóncava y limitada, su derivado $u'$ es acotado, y $u(x)\leqslant u(y)+u'(y)(x-y)$ por cada positivo $(x,y)$.

Deje $Y=E[X\mid\mathcal G]$$Z=u(Y)-u(X)+u'(Y)(X-Y)$, $Z\geqslant0$ casi seguramente. Las distribuciones de $X$ $Y$ coinciden por lo tanto $E[u(X)]=E[u(Y)]$. Por definición de la esperanza condicional y debido a $u'$ es acotado, $E[u'(Y)X]$ $E[u'(Y)Y]$ existen y coinciden. Esto implica que $E[Z]=0$ por lo tanto $Z=0$ casi seguramente.

La desigualdad de $u(x)\leqslant u(y)+u'(y)(x-y)$ es de estricta tan pronto como $x\ne y$ por lo tanto $Z\gt0$ en el caso de $[X\ne Y]$. Por lo tanto, $X=Y$ casi seguramente.

Plan B (usando la función exponencial):

Deje $Y=E[X\mid\mathcal G]$$T=\mathrm e^{-X}-\mathrm e^{-Y}+\mathrm e^{-Y}(X-Y)$, entonces:

• Desde $\mathrm e^{-x}-\mathrm e^{-y}+\mathrm e^{-y}(x-y)\geqslant0$ por cada $(x,y)$, $T\geqslant0$ casi seguramente.
• Cada término en $T$ es integrable porque $X$ $Y$ son integrables y $\mathrm e^{-X}$ $\mathrm e^{-Y}$ están delimitadas gracias a la hipótesis de que la $X\geqslant0$, casi con toda seguridad, lo que implica también que $Y\geqslant0$ casi seguramente.
• Las distribuciones de $X$ $Y$ coinciden por lo tanto $E[\mathrm e^{-X}]=E[\mathrm e^{-Y}]$.
• Por definición de la esperanza condicional, $E[\mathrm e^{-Y}X]=E[\mathrm e^{-Y}Y]$.

Todo esto implica que los $E[T]=0$ por lo tanto $T=0$ casi seguramente.

La desigualdad de $\mathrm e^{-x}-\mathrm e^{-y}+\mathrm e^{-y}(x-y)\geqslant0$ es de estricta tan pronto como $x\ne y$ por lo tanto $T\gt0$ en el caso de $[X\ne Y]$. Por lo tanto, si $P(X\ne Y)\gt0$$E[T]\gt0$. Por contraposición, $X=Y$ casi seguramente.