Ayudar a mi hija con los deberes: resolver un problema de álgebra.

Question

Tres bolsas de manzanas y dos de naranjas pesan $32$ libras.

Cuatro bolsas de manzanas y tres de naranjas pesan $44$ libras.

Todas las bolsas de manzanas pesan lo mismo. Todas las bolsas de naranjas pesan lo mismo.

¿Cuánto pesan dos bolsas de manzanas y una de naranjas?

Answer 1

$x$ peso de una bolsa de manzanas (en libras)

$y$ peso de una bolsa de naranjas (en libras)

Primero "traducimos" las dadas a ecuaciones algebraicas:

• $(1)$ "Tres bolsas de manzanas y dos de naranjas pesan $32$ libras". $\implies 3x + 2y = 32$ .
• $(2)$ "Cuatro bolsas de manzanas y tres de naranjas pesan $44$ libras". $\implies 4x + 3y = 44$

Esto nos da el sistema de dos ecuaciones en dos incógnitas: $$3x + 2y = 32\tag{1}$$ $$4x + 3y = 44\tag{2}$$

Pídale a su hija que resuelva el sistema de dos ecuaciones en dos incógnitas para determinar los valores de $x$ y $y$ .

Consejos para tu hija:

• multiplicar ecuación $(1)$ por $3$ y multiplicar la ecuación $(2)$ por $2$ :

$$9x + 6y = 96\tag{1.1}$$ $$8x + 6y = 88\tag{2.1}$$

• restar ecuación $(2.1)$ de la ecuación $(1.1)$ que dará el valor de $x$ .

• Resolver para $y$ utilizando cualquiera de las dos ecuaciones $(1)$ o $(2)$ y su valor para $x$ .

• A continuación, determine qué $2x + y$ iguala. Esa será tu (su) solución.

Answer 2

Que una bolsa de peso de manzana $x$ libras y una bolsa de peso naranja $y$ libras. Entonces tenemos \begin{align} 3x+2y & = 32\\ 4x+3y & = 44 \end{align} Necesitamos el peso de $2$ bolsas de manzanas y $1$ bolsa de naranja es decir, necesitamos $2x+y$ . Tenga en cuenta que $$2x+y = 2(3x+2y) - (4x+3y) = 2 \times 32 - 44 = 20$$

Answer 3

Sea $x$ el peso de una bolsa de manzanas y $y$ el peso de una bolsa de naranjas. Nos dicen que $3x+2y=32$ y $4x+3y=44$ :

$$\left\{\begin{align*} &3x+2y=32\\ &4x+3y=44\;. \end{align*}\right.\tag{1}$$

Queremos saber qué $2x+y$ es.

Una forma de responder a la pregunta es resolver $(1)$ para $x$ y $y$ y sustituir en $2x+y$ . Multiplica la ecuación superior de $(1)$ por $3$ y la parte inferior por $2$ para obtener ecuaciones con el mismo coeficiente en $y$ :

$$\left\{\begin{align*} &9x+6y=96\\ &8x+6y=88\;. \end{align*}\right.\tag{2}$$

Si ahora resta la ecuación inferior en $(2)$ desde arriba se encuentra que $x=8$ . Sustituya ese valor de $x$ en cualquiera de las ecuaciones de $(1)$ o $(2)$ encontrar $y$ Utilizaré la ecuación superior en $(1)$ ya que tiene los coeficientes más pequeños. A partir de ella encuentro que $3\cdot8+2y=32$ , $24+2y=32$ , $2y=8$ y $y=4$ . Así, $2x+y=2\cdot8+4=20$ .

Si se da cuenta de que $2(3x+2y)-(4x+3y)=2x+y$ , puedes aprovechar un atajo (que veo que Marvis ya ha señalado), pero si no, resolver el sistema está garantizado que funcione, y además bastante mecánicamente.

Answer 4

Que el peso de $1$ bolsa de manzana be $x$ y el peso de $1$ bolsa de naranja be $y$ . Entonces usted tiene

\begin{equation} 3x + 2y = 32 \end{equation}

y

\begin{equation} 4x + 3y = 44 \end{equation}

Ahora, resolviendo estas ecuaciones se obtiene $x = 8$ y $y = 4$ . Así, el peso de $2$ bolsas de manzana y $1$ bolsa de naranja es $2x+ y = 16 + 4 = 20$ .

Answer 5

He aquí otro enfoque que muestra cómo se podría intuir la respuesta a este problema concreto sin ser capaz de resolver sistemas generales de ecuaciones lineales:

"Sabemos que 3 bolsas de manzanas y 2 bolsas de naranjas pesan en total 32 libras, y sabemos que 4 bolsas de manzanas y 3 bolsas de naranjas pesan 44 libras. Entonces, restando la primera de la segunda, obtenemos que una bolsa de manzanas y una bolsa de naranjas pesan 44-32=12 libras.

Pero ahora que tenemos esto, podemos sacar una bolsa de manzanas y una bolsa de naranjas del montón de 3 y 2 bolsas para ver que 2 bolsas de manzanas y 1 bolsa de naranjas pesan 32-12=20 libras".

(Esto es, por supuesto, aproximadamente equivalente a la observación de Marvis, pero no implica multiplicación alguna, sólo un par de restas sucesivas. Y se podría continuar señalando que se puede sacar otra bolsa de manzanas-y-bolsa-de-naranjas del montón de 2-y-1 para encontrar que una bolsa de manzanas pesa 20-12=8 libras por sí misma y luego que una bolsa de naranjas pesa 12-8=4 libras, pero eso es tangencial y, por supuesto, mayormente una función de este conjunto especial de parámetros).