Mapa isométrico en un espacio métrico compacto

Question

Sea$X$ un espacio métrico compacto y$f : X\rightarrow X$ tal que$d (x,y)\le d (f(x),f(y))$ para todos$x,y\in X$. Demuestre que$f$ es una isometría. Me estoy quedando atascado en esta pregunta. Alguien puede ayudarme ?

Answer 1

Es suficiente para probar que $f$ es bijective.

$f$ es inyectiva porque si no, no se $x\neq y$ s.t. $f(x)=f(y)\Rightarrow d(f(x),f(y))=0.$

Si $f$ es continuo yo creo que se puede argumentar de la siguiente manera: $f(X)$ es compacto y cerrado.

Ahora, suponga $X\neq f(X)$. Entonces es un punto de $x\in X\setminus f(X)$ s.t. $d(x,f(X))=a>0$. Esto se deduce porque $f(X)$ es cerrado y $x\notin f(X)$.

Considere la secuencia definida por $x_1=x$ $x_n=f(x_{n-1})\in f(X)$ y extracto convergente subsequence $x_{n_k}\to y$. Por supuesto, $y\in f(X)$ porque $f(X)$ es cerrado.

Pero entonces, para todos los enteros $k$, tenemos, para algún entero $m$,

$d(f(x_{n_k}),f(x_{n_{k-1}}))\geq d(x_{n_k},x_{n_{k-1}})= d(f(x_{n_k-1}),f(x_{n_{k-1}-1}))\geq \cdots= \cdots \geq d(f(x_m),x)>a$, lo que implica que $f(x_{n_{k}})\not\to f(y)$, lo que contradice la continuidad de $f$.

Answer 2

Aquí hay otro enfoque que utiliza sólo ideas muy básicas:

Pick $x,y\in X$ y tome $x_0=x, y_0=y$ y, a continuación,$x_n=f(x_{n-1}), y_n=f(y_{n-1})$.

Entonces, para todos los enteros $n$, tenemos

$\tag1 d(x,y)\leq \cdots \leq d(x_n,y_n)\leq d(x_{n+1},y_{n+1})\leq \cdots $

Ahora, hay convergente subsecuencias $x_{n_{k}}, y_{n_{k}}$ y estos son, por supuesto, de Cauchy.

Deje $\epsilon >0$. Entonces, si $k$ es lo suficientemente grande,

$\tag2 d(x_{n_{k+1}-n_{k}},x)\leq d(x_{n_{k+1}},x_{n_{k}})<\epsilon$

y $\tag3 d(y_{n_{k+1}-n_{k}},y)\leq d(y_{n_{k+1}},y_{n_{k}})<\epsilon$

donde hemos utilizado $(1)$ sucesivamente.

Pero ahora, el uso de $(1), (2), (3)$ y el triángulo de la desigualdad, tenemos

$\tag4 d(f(x),f(y))=d(x_1,y_1)\leq \cdots \leq d(x_{n_{k+1}-n_{k}},y_{n_{k+1}-n_{k}})\leq d(x_{n_{k+1}-n_{k}},x)+d(x,y)+d(y_{n_{k+1}-n_{k}},y)<d(x,y)+2\epsilon$

por lo $d(f(x),f(y))\leq d(x,y)$ y hemos terminado.

Answer 3

La respuesta se encuentra en el teorema 1.6.15 de "Un curso de geometría métrica" , de Burago, Burago e Ivanov.