Mostrar las curvas de nivel de $\log|f(z)|$ son ortogonales a las de $\operatorname{arg}(f(z))$ .

Question

Pregunta:

Supongamos que $f(z)$ es analítica en una vecindad donde $f(z) \neq 0$ . Mostrar las curvas de nivel de $\log|f(z)|$ son ortogonales a las de $\operatorname{arg}(f(z))$ .

Aquí, sé que debo utilizar algunas de las propiedades de preservación de ángulos de los mapas conformes, aunque no estoy seguro de cómo empezar. En primer lugar, ¿cómo caracterizar las curvas de nivel de $\log|f(z)|$ ?

Answer 1

Las curvas de nivel de $\log|f(z)|$ son las mismas que las curvas de nivel de $|f(z)|$ . Ahora, un conjunto de la forma $\{z:|f(z)|=\epsilon\}$ (para algunos fijos $\epsilon>0$ ) es la preimagen del círculo $\{w:|w|=\epsilon\}$ mientras que un conjunto de la forma $\{z:\arg(f(z))=\alpha\}$ (para algunos fijos $\alpha\in[0,2\pi)$ ) es la preimagen del rayo $\{w:\arg(w)=\alpha\}$ .

Como los círculos y los rayos son perpendiculares entre sí en $w$ -se deduce que sus preimágenes bajo $f$ será perpendicular en $z$ -espacio en cualquier lugar que $f$ es conforme (es decir, preserva el ángulo). Por lo tanto, su problema original también debería requerir que $f'\neq0$ también.

A un cero de $f'$ de la multiplicidad $n$ la ramificación de los ángulos es $n+1$ por lo que el ángulo entre la curva de nivel de $|f|$ y de $\arg(f)$ es $\dfrac{\pi}{2(n+1)}$ .