Resolución de la ecuación diferencial ordinaria no lineal:$(y'')^2-y'y'''=\left(\frac{y'}{x}\right)^2$

Question

ps

He estado luchando para resolver esta ecuación haciendo las siguientes simplificaciones:$$(y'')^2-y'y'''=\left(\frac{y'}{x}\right)^2$ $ División por$$y'''y'=(y'')^2-\left(\frac{y'}{x}\right)^2$:$y'$ $ División por$$y'''=\frac{(y'')^2}{y'}-\frac{y'}{x^2}$:$y''$ T averiguar lo que sigue ya que nunca he encontrado con la última fracción. Realmente agradecería cualquier ayuda en el asunto.

Answer 1

La cosa más obvia a hacer en este momento es empezar por la sustitución de $v=y'$: $$(v')^2-v\cdot v''=\frac{v^2}{x^2}$$ Vamos a dividir ambos lados por $v^2$, luego de integrar ambos lados con respecto a $x$:

$$\int \frac{(v')^2-v\cdot v''}{v^2}=\int \frac{1}{x^2}~dx$$ Es fácil ver a través del cociente regla de que: $$\left(\frac{v'}{v}\right)'=\frac{v\cdot v''-(v')^2}{v^2}$$ Por lo tanto, se obtiene un primer orden separable educación a distancia, que es fácil de resolver: $$-\frac{v'}{v}=-\frac{1}{x}+C \iff \frac{v'}{v}=\frac{1}{x}+k$$ Donde $k:=-C$. Todo lo que queda por hacer es resolver para $v(x)$ explícitamente, sustituya por $v=y'$ e integrar ambos lados con respecto a $x$. Esto le dará una solución explícita para $y(x)$.

Answer 2

Resolución de problemas :

$$ \Bigg(\frac{d^2 y(x)}{dx^2}\Bigg) - \frac{dy(x)}{dx}\frac{d^3 y(x)}{ dx^3} = \frac{\frac{dy(x)}{dx}^2}{x^2}$$

Vamos a :

$$\frac{dy(x)}{dx} = v(x)$$

que los rendimientos :

$$\frac{d^2 y(x)}{dx^2} = \frac{dv(x)}{dx}$$

$$\frac{d^3 y(x)}{ dx^3}= \frac{d^2 v(x)}{dx^2}$$

Usted obtener :

$$\Bigg( \frac{dv(x)}{dx}\Bigg)^2 -v(x)\frac{d^2 v(x)}{dx^2} = \frac{v(x)^2}{x^2}$$

$$\Rightarrow$$

$$\Bigg[-x^2 \Bigg( \frac{dv(x)}{dx}\Bigg)^2 + v(x)^2 + x^2\frac{d^2 v(x)}{dx^2}v(x)\Bigg]\frac{1}{x^2} = 0 $$

$$\Rightarrow$$

$$\frac{1}{x^2} + \frac{\frac{d^2 v(x)}{dx^2}}{v(x)} - \frac{\Bigg(\frac{dv(x)}{dx}\Bigg)^2}{v(x)^2} = 0 $$

$$\Rightarrow$$

$$\int \Bigg[\frac{1}{x^2} + \frac{\frac{d^2 v(x)}{dx^2}}{v(x)} - \frac{\Bigg(\frac{dv(x)}{dx}\Bigg)^2}{v(x)^2}\Bigg]dx = \int0dx$$

$$\Rightarrow$$

$$- \frac{1}{x} + \frac{\frac{dv(x)}{dx}}{v(x)} = c_1$$

$$\Rightarrow$$

$$\frac{dv(x)}{dx} = \frac{(c_1x+1)v(x)}{x}$$

$$\Rightarrow$$

$$\int \frac{dv(x)}{dx} dx = \int \frac{(c_1x+1)v(x)}{x} dx$$

$$\Rightarrow$$

$$\ln{v(x)} = \ln x + c_1x + c_2$$

$$\Rightarrow$$

$$v(x) = e^{c_1x + c_2}x$$

$$\Rightarrow$$

$$v(x) = c_2 c_1^x x$$

La sustitución de la espalda para $\frac{dy(x)}{dx} = v(x)$, se obtiene :

$$\frac{dy(x)}{dx} = c_2 c_1^x x $$

$$\Rightarrow$$

$$y(x) = \int c_2 c_1^x x dx = \frac{c_2 (\ln{(c_1)}x-1)c_1^x}{\ln^2c_1} + c_3 $$