¿Existe una fórmula para el patrón $1,1,1,0,1,0,1,0,1,0\ldots$ ? ¿O un principio matemático?

Question

A partir de $n= 0$ :

$1,1,1,0,1,0,1,0,1,0\ldots$

El $0,1,0,1$ El patrón continúa. ¿Existe una fórmula para esto?

Answer 1

$$\frac{1099}{9900} = 0.111010101\dots$$

Answer 2

Se podría definir así: $$n_k=\begin{cases}1, &\text{ if }k=0,1\\ \frac{1}{2}\left((-1)^k+1)\right),&\text{ if }k\ge 2\end{cases}.$$ O si quieres una fórmula completamente cerrada, puedes utilizar $$n_k=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2}\big(1-(-1)^{k!}\big)\right)\big((-1)^k+1\big)+\frac{1}{2}\big(1-(-1)^{k!}\big).$$

En realidad, he descubierto una fórmula mejor. Prueba con $$n_k=\frac{1}{2}\left(1+(-1)^k\right)+\left(1-\frac{1}{2}\left(1+(-1)^{k\cdot k!}\right)\right).$$ Obsérvese que el primer término describe la secuencia $1 , 0, 1, 0, \dots$ mientras que el segundo término describe la secuencia $0,1,0,0,0,0,\dots$ . Por lo tanto, la adición da $1,1,1,0,1,0,1,0,\dots$ .

Answer 3

Prueba este:

\begin{align} f(n)&= 1-\operatorname{sgn}(n-1)\cdot(n\bmod2) \end{align}

Editar

Aquí

\begin{align} \operatorname{sgn}(n)&= \begin{cases} -1,\quad n<0\\ \phantom{-}0,\quad n=0\\ \phantom{-}1,\quad n>0 \end{cases} . \Fin

La función $f$ funciona de la siguiente manera:

para todos incluso $n\ge0$ tenemos $(n\bmod2)=0$ Por lo tanto $f(n)=1-\operatorname{sgn}(n-1)\cdot0=1$ ;

para $n=1$ el término $\operatorname{sgn}(n-1)=0$ Por lo tanto $f(n)=1-0\cdot(n\bmod2)=1$ ;

y para todos los impar $n>1$ , $f(n)=1-\operatorname{sgn}(n-1)\cdot(n\bmod2)=1-1\cdot1=0$ .

Edición2

Función más exótica que produce la misma salida que $f$ para $x=0,1,2,\dots$ :

\begin{align} g(x)&= 1+\sin \left( \tfrac\pi2\,\cos(\tfrac\pi2\,x) -\arctan(x-1) -\tfrac12\,\arcsin\left({\tfrac{2\,(x-1)}{{x}^{2}-2\,x+2}}\right) \right) . \end{align}

Answer 4

La respuesta de orlp, ${1099\over9900} =0.111010101…$ , utiliza la aritmética decimal para producir la secuencia deseada (como dígitos de un número). Un resultado similar, pero utilizando la base 2, es el siguiente:

$$0.111010101…_2 = {1\over4}+0.101010101…_2= {1\over4}+ {1\over2}\sum\limits_{j=0}^\infty({1\over4})^j ={1\over4}+ {1\over2}\times {4\over3}= {11\over12}$$

Es decir, la representación binaria de la fracción de base-10 ${11\over12}$ es $0.111010101…_2$ .

Answer 5

El Enciclopedia en línea de las secuencias de números enteros tiene algunos resultados interesantes, entre ellos http://oeis.org/A266591 :

"Columna central del autómata celular elemental "Regla 37" que comienza con una sola celda ON (negra)".