Explique esta sorprendente cancelación de 4 términos a 40 dígitos

Question

Defina los siguientes cuatro números racionales. $$ a = \frac{4243257079864535154162785598448178442416}{41016602865234375} \\ b = -\frac{143308384621912247542172258992236503771301}{1210966757832031250} \\ c = \frac{350687399375274064088342133116344593437371021}{4109863607096484375000} \\ d = -\frac{762284492856611655417326017768244278005511063}{12085448243163671875000} $$ Vamos $$ p = \frac{501}{10}, \qquad m = \frac{499}{10}. $$ Calcular $$ \mathrm{Resultado} = a \cos [p] + b \cos [m] + c \pecado [p] + d \pecado [m]. $$ Cada término de esta suma es aproximadamente el $10^{23}$. Hay un curioso cancelación (con 40 dígitos) ocurriendo entre estos cuatro términos; la respuesta correcta es $\mathrm{Result}=7.32 \times 10^{-18}$.

Mi pregunta: ¿de Dónde viene esta cancelación vienen, analíticamente? Puede que el masaje de los términos en una forma en que la cancelación se manifiesta, y la precisión de la máquina puede evaluar la respuesta con una apariencia de precisión?

(Si tienes curiosidad, el resultado vino de la analítica de la integral de una muy oscilatoria de la función).

Answer 1

He aquí dos ideas que pueden ser útiles. Ellos no son de ninguna manera una solución.

Idea 1:

Vamos $r = 50, s=\frac1{10}$. Entonces $p = r+s, m = r-s$ así que $\cos(p) =\cos(r+s) =\cos(r)\cos(s)-\sin(r)\sin(s), \cos(m) =\cos(r-s) =\cos(r)\cos(s)+\sin(r)\sin(s), \sin(p) =\sin(r+s) =\sin(r)\cos(s)+\cos(r)\sin(s), \sin(m) =\sin(r-s) =\sin(r)\cos(s)-\cos(r)\sin(s) $.

Por lo tanto

$\begin{array}\\ \mathrm{Result} &= a \cos [p] + b \cos [m] + c \sin [p] + d \sin [m]\\ &= a (\cos(r)\cos(s)-\sin(r)\sin(s)) + b (\cos(r)\cos(s)+\sin(r)\sin(s))\\ &\quad + c (\sin(r)\cos(s)+\cos(r)\sin(s)) + d (\sin(r)\cos(s)-\cos(r)\sin(s))\\ &=\cos(r)(a\cos(s)+b\cos(s)+c\sin(s)-d\sin(s))\\ &\quad+\sin(r)(-a\sin(s)+b\sin(s)+c\cos(s)+d\cos(s))\\ &=\cos(r)((a+b)\cos(s)+(c-d)\sin(s)) +\sin(r)((-a+b)\sin(s)+(c+d)\cos(s))\\ &=\cos(r)(w\cos(s+x)) +\sin(r)(y\sin(s+z))\\ \end{array} $

donde $w^2 =(a+b)^2+(c-d)^2, y^2 =(-a+b)^2+(c+d)^2, x =\arctan(\frac{c, d}{a+b}), z =\arctan(\frac{-a+b}{c+d}) $.

La computación de estos valores podría ser interesante.

Idea 2:

$\begin{array}\\ \mathrm{Result} &= a \cos [p] + b \cos [m] + c \sin [p] + d \sin [m]\\ &= a \cos [p] + c \sin [p]+ b \cos [m] + d \sin [m]\\ &= u \sin [p+v] + w \sin [m+x]\\ \end{array} $

donde $u^2 = a^2+c^2, w^2 =b^2+d^2, v = \arctan(\frac{a}{c}), x = \arctan(\frac{b}{d})$.

No sé a dónde ir desde aquí.